BOULEVARD SAINT -GERMAIN
'% • ^ /t;.- ' •■ LIVKE I.
celle (Jç n, et, en y donnant à n les valeurs successives 0, 1, 2,...., Jon obtient lés divers termes.
On désigne par Sn la somme algébrique des n premiers termes de la série ; de sorte que Ton a :
5. SÉRIES CONVERGENTES OU DIVERGENTES. On ditqu'uue séric est convergente, lorsqu'il existe une limite finie dont la somme Sn s'approche indéfiniment, à mesure que n croît indéfiniment. La limite S, vers laquelle elle tend, se nomme la somme de la série.
Si, au contraire, la somme S„ ne tend pas vers une limite fixe, la série est dite divergente. Une série divergente ne représente rien, et ne peut être d'aucun usage en analyse.
4. Exemple. Une progression par quoUent est une série convergente, lorsque sa raison est moindre que l'unité. On a vu (I, 570), en effet, qu'en supposant q moindre que 1, la somme
is'approche indéfiniment de la limite déterminée .
Une progression géométrique indéfinie, dont la raison surpasse l'unité, est divergente. Car la somme de ses termes croît indéfiniment avec leur nombre.
iî. Remarque. Pour qu'une série soit convergente, il faut qu'à partir d'un terme suffisamment éloigné, le terme un tende vers zéro^ quand n augmente indéfiniment. En effet, si une série est convergente et a pour limite S, on peut prendre n assez grand, pour que les sommes S„, Sn+i, S„+2 diffèrent de S aussi peu que l'on voudra. Les différences S„+i — S„, Sn+2 — S„.h, sont alors aussi peUles qu'on le veut. Or S„+i — S„ = u^, Sn+a — Sn+i = 'i/n+i. Donc les termes w„, i/„+i tendent vers zéro.
Mais cette condition nécessaire n'est pas suffisante. Pour le prouver, nous allons faire voir que la série, dite harmonique,
dont les termes diminuent indéfiniment, est cependant divergente. Et, en effet, si l'on groupe les termes de la manière suivante :
on reconnaît que chaque partie, renfermée entre parenthèses,
est plus grande que - , car la dernière, par exemple, contient
n termes^ tous supérieurs ou au moins égaux à — . Or la série se
compose d'une infinité de groupes semblables ; il est donc évident que la somme peut dépasser toute hmite assignée.
6. Caractère général des séries convergentes. Le caractère d'une série convergente consiste dans la condition suivante.
Pour qu'une série soit convergente, il faut et il suffit qu on puisse prendre dans la série un nombre n de termes assez grand à partir du premier j pour que la somme des p suivants j ^
[a] U„ + Un+i + W„+2 + + «„+p-l,
soit, quelque grand que soit p, inférieure, en valeur absolue, à une quantité donnée, si petite qu'elle soit, et tende vers zéro, quand n croit indéfiniment,
La condition est nécessaire : car, si la série est convergente, on peut donner à n une valeur assez grande, pour que, quel que soitp, les deux sommes Sn et Sn+p diffèrent de leur limite commune S aussi peu qu'on voudra (5) : leur différence, c'est-à-dire la somme [a], est donc, pour cette valeur de n, inférieure, en valeur absolue, à un nombre donné, si petit qu'il soit ; et elle tend vers zéro, quand ?i croît indéfiniment.
La condition est suffisante : car, si elle est remplie, on peut choisir pour n une valeur déterminée n' assez grande, pour que la somme.
[6] Un' + Un'+L + U„'+2 + + ««'■
Si l est plus grand que Vunité, on peut encore choisir arbitrairement, entre 1 et /, un nombre déterminé k; et le rapport, se rapprochant indéfiniment de /, finira par devenir constamment plus grand que /v, qui est supérieur à l'unité. La série est donc divergente.
Si 1=1, il y a doute; et le théorème I est insuffisant, pour permettre de prononcer sur la convergence ou la divergence de la
série. Cependant, si le rapport -^^^ finit par être toujours au-
dessus de sa limite 1, la série est divergente; car alors les termes finissent par aller toujours en croissant; et, comme ils sont tous positifs, leur somme peut devenir plus grande que toute quantité donnée.
10. Limite de l'erreur commise. La démonstration du théorème I fait connaître une limite de l'erreur que l'on commet, lorsque l'on s'arrête, dans la sommation d'une série convergente, à un terme d'un certain ordre. Supposons, en effet, qu'à partir du terme w„ le rapport d'un terme au précédent soit constamment plus petit qu'un nombre k intérieur à l'unité; les termes Vi+i, Ui+ty it,+3,... seront (8) respectivement moindres que ku{, /c'w,-, k%, ... ; et par suite, la somme des termes que l'on néglige, quand on s'arrête à w,i, sera moindre que w,-|-/m<
-\-k*Ui-\- %+,,., ou que j-^,. Ainsi, en désignant par e
l'erreur commise, on a :
'^l-/i;il. Exemples. 1* Soit la série :
Le rapport du Oi-f-l)"« terme au précédent est-; sa limite est
il/
zéro, quand n croît indéfiniment. La série est donc convergente.
Si l'on s'arrête au terme -pv- r, le rapport de l'un quel-
conque des termes qui le suivent au précédent est toujours inférieur à ; on peut donc prendre k= ; et Ton trouve, pour Terreur commise :
20 Si Ton considèr(^la série harmonique [1] (n** o), le rapport
du n"" terme au précédent est -, ou (l — ). Il est toujours
plus petit que 1; mais sa limite est 1, quand n croît indéfiniment. Il y a doute; mais on a démontré (5), par un procédé particulier, que la série est divergente.
3° Soit encore la série :
le rapport du n*^ terme au précédent est ^^~", ^ , ou ( 1 — - ) :
et sa limite est encore Tunité. Le théorème I ne nous apprend donc rien. Mais, que Ton groupe les termes de la manière suivante :
c'est-à-dire, de telle sorte que chaque groupe commence par un terme dont le dénominateur est une puissance de 2 ; la valeur
du premier groupe sera plus petite que 2 fois-^ ou que - ; celle du second sera moindre que 4 fois -j, ou que -; celle du troisième sera inférieure à 8 fois -5, ou à i ; et ainsi de suite. La
somme des termes de la série est donc moindre que celle des
termes de la progression décroissante l+ô + r + ô+-*'-^^
série esl donc convergente.
12. Cas ou la série est ordonnée par rapport aux puissances d'une variable. Il arrive souvent qu'une série est ordonnée par rapport aux puissances entières et croissantes d'une variiible x. Si le terme général w„ est égal à Ana;", le rapport
-^sera égal k~^x; et, si l'on désigne t)ar l la limite vers la-
quelle tend le rapport des coefficients-^, quand n croît indé-
finiment, le rapport des deux termes aura lui-même pour limite Ix. La série sera donc convergente, si l'on a (9) :
/a;<l, ou a?<y.
Ainsi la série sera convergente, tant que x sera plus petit que p et divergente, quand a; sera > y-. Il y aura doute, si l'on donne
à a; la valeur j.
Exemples. 1° La série
a pour coefficients les termes de la série [2] ; le rapport des coefficients-^' est donc égal à-, et sa fimite 1 = 0. La série
est donc convergente pour toute valeur de x inférieure à^, c'est-à-dire quel que soit x.
2» La série
a pour coefficients les termes de la série harmonique [1] ; le
rapport des coefficieiils est donc (l — ), el sa limite est 1. La
série est donc convergente pour toute valeur de x plus petite que 1, et divergente pour toute valeur de x plus grande que 1. Il y aurait doute, pour a;= 1 : mais nous savons (S), qu'alors la série est divergente.
13. Théorème II. Une série, à termes positifs, dont le terme général est Un, est convergente, lorsque sj Vn est, pour une certaine valeur de n, et pour toutes les valeurs plus grandes, plus petit qu'un nombre f\xe k, inférieur à l'unité Elle est divergente, lorsque y/un est constamment plus grand que V unité.
1° Si, à partir d*une certaine valeur de n, on a constamment \lul,<.k, on en déduit les inégalités suivantes :
Un<li\ Uu^,<k-^', u^+,<k-^' ;
en sorte que les termes de la série proposé:, à partir de u,,, sont moindres que ceux de la progi ession géométrique décroissante
On en conclut comme au n" 8, que la série est convergente.
2° Si, au contraire, à partir d'une certaine valeur de n, ^u^ est constamment supérieur à l'unité, il en est de même de w^; par suite les termes vont en augmentant : et leur somme peut dépasser toute grandeur donnée.
Remarque. La démonstration est en défaut, si /v=l. Dans ce cas, il y a doute ; et l'on ne peut affirmer, en général, si la série est convergente ou divergente.
14. Gomment ON applique le théorème. On prouve d'ailleurs. comme au n" 9, que si \^Un tend vers une limite l plus petite que 1, la série est convergente ; que si l est supérieur à l'unité, la série est divergente ; et qu'il y a incertitude dans le cas où l=\. Cependant si v^it„ finit par être constamment au-dessus de sa limite 1, la série est divergente.
lo. Limite de l'erreur commise. Dans le cas où la série est
convergente, la démonstration précédente fournit une limite de l'erreur t que Ton commet, lorsqu'on s'arrête à un terme w,-i. On a évidemment :
h étant une limite supérieure de V^^*
16. Remarque. Les limites dont les deux théorèmes I et 11 font dépendre la convergence sont nécessairement égales entre elles.
Soit en effet la série
Ua + Ui + Ui+ .... +Un+ ....
et limî^ = &,
Un
\im"\lun=k'f dans la série
Uo+UiX + 'U2n +UnX''-{- ,
le rapport d'un terme au précédent a pour limite /c„, et par conséquent elle est convergente ou divergente suivant que x est
plus petit ou plus grand que j-, mais la racine rT' de terme général UnX'' a pour limite k'x, et par conséquent en vertu du théorème II, elle est convergente ou divergente suivant quen
est plus petit ou plus grand que r,> les deux résultats ne peuvent s'accorder que si k est égal à k',
