Théorème III. Si les termes d'une série

vont constamment en diminuant^ a partir du premier, cette série sera convergente ou divergente, en même temps que la série,

W|+2Wi+4w3-|-8w7 + 16ui5 + ....

En effet, supposons d'abord la première série convergente. On a évidemment les relations :

16Ui5 <2i/8 + 2i/9+2i<io+.... +2l^is,

Si Ton ajoute, membre à membre, ces inégalités, on a ]

<Wo + 2wi + 2w2+ 21/3 + 2^4+ + 2wi3+.. .;

donc la somme d'un certain nombre de termes de la seconde série est plus petite que le double de la somme des termes de la première, terminés au terme de môme indice. Or, celle-ci est convergente, par hypothèse; donc la seconde Test, à plus forte raison. Donc la convergence de la première entraîne celle de la seconde.

Supposons maintenant que la première série soit divergente. En groupant les termes d'une autre manière, on a évidemment:

d'oii, en ajoutant membre à membre, -

Wo + 2^1 + 41^5 + 8U7 + ... .

Ainsi la somme d'un certain nombre de termes de la seconde série est plus grande que la somme des termes de la première, terminés au terme d'indice double. Or celle-ci croît indéflniment,

par hypothèse : donc la seconde est divergente. Ainsi la divergence de la première entraîne la divergence de la seconde. C'est ce qu'il fallait démontrer.

18. Applications. Prenons, pour la première série, la suivante :

la seconde sera :

Or cette dernière est une progression géométrique, dont la raison est 2*-". Donc elle est convergente, si a est plus grami que l'unité; elle est divergente, si a est égal ou inférieur à l'unité. Donc la première série est convergente, si a> 1 ; et divergente^ sia^^l.

Nous avons déjà obtenu ces résultats pour la série [l] où a=:l, et pour la série [3] oi!i a=2.

Prenons pour la première série, la suivante :

^^^ ^"'"2(log2)*+ 3(log3)*+4(log47"'"* • • * ''"n(iog?i)*~''* ' • ' La seconde sera :

(log2)« ' (log4)=' ' (log8)" ' ' (log2")« '

OU, en remarquant que (log 2")«=7i"(log2)%

^^■(log2)»V''"2«'^3^'^ ■^?7~'""*7

Or la série, renfermée entre parenthèses, n'est autre que la série [6]. Donc elle est convergente, si a est plus grand que 1 ; et divergente, si a est égal ou inférieur à 1. Il en est donc de même delà série [7].-

!9. Remarque. Il n'est pas nécssaire, pour appliquer le théorème III, de commencer la seconde série par le premier

tnrme delà première : car la convergence d'une série ne dépend que de ses termes éloignés. Ainsi, laissant de côté les i premiers termes, on considérera les deux séries :

elles seront convergentes et divergentes ensemble.

20. Théorème IV. Une série^ à termes positifs, est convergente, lorsque^ à partir d'un certain terme, le rapport du logarithme de

— au logarithme de n est constamment plus grand quun nombre

fixe k, supérieur à l'unité. Elle est divergente, si le rapport est constamment plus petit que Vunité.

1° Si le rapport de log — à log n est constamment plus grand

que /e, il en résulte que l'on a :

Iog->/clogn, ou log— >logn*;

et, par suite,

!>»', ou «„<i,

Les termes de la série proposée sont donc, à partir ae m„, plus petits que les termes correspondants de la série

or cette dernière est convergente, puisque k est plus grand que 1 (17). Donc la série proposée est aussi convergente.

2° Si, au contraire, le rapport, à partir de w», est constamment inférieur à Tunité, on en conclut :

log -^< log 71, ou — <n, ou w„>-<

Les termes de la série proposés sont donc, à partir de w„, plus grands que ceux de la série

laquelle est divergente (5). La série proposée est donc divergente.

Comment on applique le théorème. Si, comme cela arrive

le plus ordinairement, le rapport de log — à log n converge vers

Un

une limite /, on prouvera, comme au n° 9, que la série est convergente, quand l est supérieur à l'unité; qu'elle est divergente, quand l est inférieur à 1 ; et qu'il y a incertitude dans le cas où l=\. Cependant, si le rapport finissait par être constamment inférieur à sa limite 1, la série serait divergente.

21. Remarques. Telles sont les règles les plus élémentaires, à l'aide desquelles on se proiionce sur la convergence des séries à termes positifs. Il en existe d'autres, que nous n'avons pas à exposer ici. Nous ferons, toutefois, les deux remarques suivantes, qui trouvent fréquemment leur application.

1° Si une série, dont tous les termes sont positifs, est convergente, ellele sera encore^ quand on multipliera tous ses termes par un même nombre quelconque^ ou même par des nombres différents , pourvu qu'ils soient finis.

En effet, si l'on peut prendrez assez grand, pour que la somme

soit, quelque soit p, aussi petite qu'on le veut, et tende vers zéro, quand n augmente indéfiniment (6), il en sera de môme de la somme

puisqu'elle est inférieure à la somme

A(w„ + w„+i + u„^.2-f- j^Un^^,)^

dans laquelle A est le plus grand des coefficients introduits

S'» Si Von a une série convergente ^

% + Ui + lhi + Ui-\-,... +Wn + ....,

et qu'une autre série ,

soit telle, qu'à partir du terme d'un certain rang i, on ait constamment :

cette seconde série est aussi convergente. Car , si Ton multiplie la

première par —, nombre fini , on obtient une nouvelle série

qui, d'après la première remarque, est encore convergente. Or, à partir du terme -y,-, les termes de cette nouvelle série,

sont plus grands que les termes correspondants de la seconde,

Vi + Vi+i + Vi+i-\-,. ..

Donc cette dernière est, à plus forte raison, convergente.

§ III. Des séries dont tous les termes ne sont pas positifs.

22. Théorème I. Lorsqu'une série n'a pas tous ses termes de même signe, il suffit pour quelle soit convergente, qu'elle le soit quand on donne le même signe {-\- par exemple) à tous ses termes.

En effet, puisque la série à termes positifs est convergente, on peut prendre pour n une valeur i assez grande , pour qu'à partir du terme i/., la somme des p suivants soit aussi petite que l'on voudra, et tende vers zéro, à mesure que i croît [6]. Il en sera donc de même, à plus forte raison, de la somme algébrique desp termes correspondants de la série proposée, puisque, dans la première tous les termes s'ajoutent, et que, dans la seconde, les uns s'ajoutent, et les autres se retranchent. Donc la série proposée [6] est convergente.

16 LSVRE I.

On pourra donc api)liquer à ces nouvelles séries les lèglesde convergence données [)Our celles dont tous les termes sont positifs , et déterminer de même une limite de Terreur que l'on commet en s'arrôtant à un terme de rang quelconque. Mais il peut arriver qu'une série, dont les termes ne sont pas tous positifs, soit convergente, et qu'elle devienne divergente, quand on donne le même signe à tous ses termes. Il est donc utile de donner des règles spécialement applicables à ce cas : nous nous bornerons à la suivante.

23. Théorème II. Si dans une série ^ les termes sont alternativement positifs et négatifs, et qu'ils décroissent indéfiniment, la série est convergente.

Soit, en effet, la série :

Wo — 'Wl + ^'2 — 'W3+W4 — + W^ — W„+i + W„+2 — . .. .,

dans laquelle les termes u^, Wi, i/g . . . vont toujours en diminuant, de telle sorte que chacun soit plus petit que le précédent, et que u„ puisse devenir aussi petit qu*on le voudra, si n est suffisamment grand.

Nommons S^, Sj, Sa, S„, — les diverses sommes qu'on

obtient, en arrêtant la série successivement, au terme Wo, au tcrmewi,autcrmeu2j. ... au terme w„. Représentons ces sommes

U iîi S3 S5 S7 S Sg Se S4 S, So X

La première, So, sera représentée par OSq. La seconde, Si^ étant égale a u^^—Ui, est plus petite que So*, représentons-la p,ir la longueur OSj. La troisième, S2, étant égale à Si+Va, est plus grande que Sj ; mais elle est plus petite que S^,; car , pour la former, à So on a ajouté — Wi-f Wa, quantité négative : elle sera donc représentée par OS2. La quatrième, S3, étant égale à Sa — 1/3, est plus petite que Sa; mais elle est plus grande que Si; car, pour la former, à Si on a ajouté u^ — u^, quantité positive : nous la représentons par OS3. Et ainsi de suite. D'après cela, les sommes Si, S3, S5,. . . . forment une série croissante, et les sommes, S^, Sa, S4,. .. . forment une série décroissante. D'ailleurs les termes de la première série n'augmentent pas indéfiniment, car ils sont tous plus petits que les divers termes de la

seconde ; cela résulte de la loi même de leur formation. Dès lors, il est évident que ces termes ont une limite, qui est précisément le plus petit des nombres qu'ils ne peuvent pas dépasser. De même, les termes de la série décroissante, So, S2, S4,. ... ontnne limite; car ils sont plus grands que chacun des termes de la série croissante ; et cette limite est le plus grand des nombres auxquels ils restent constamment supérieurs. Enfin, ces deux limites sont les mêmes; car on a : S.2n — S^n-i^Wan; et, par conséquent, la différence entre deux termes correspondants des deux séries à indices pairs et impairs, peut devenir aussi petite que l'on voudra. Il y a donc, sur la droite OX, entre les extrémités des longueurs qui représentent Sjn-i et Ssn, une distance qui diminue indéfiniment, quand n auguiente indéfiniment; de sorte que ces extrémités se rapprochent indéfiniment d'un point S, qui est leur limite commune. La longueur OS représente la somme de la série.

24. Limite de l'erreur commise. V erreur que Von commet, lorsque Von s'arrête à un terme u,i, est moindre que le terme suivant et de même signe que lui. En effet, la somme S de la série est évidemment comprise entre S,i et S,. Donc l'erreur commise, en prenant S, pour valeur approchée de S, est moindre que la différence entre S,- et S,i, laquelle est zh Ui. Les valeurs approchées, que l'on obtient en considérant un nombre de termes de plus en plus grand, sont donc alternativement trop grandes et trop petites : mais l'erreur est, en valeur absolue, moindre que le premier des termes que l'on néglige.

2o. Exemple. Soit la série :

/y>2 0^3 nti /y»5

Le rapport d'un terme au précédent est, en valeur absolue,

, x\ et sa limite est x. Donc la série sera convergente (9 et

22), si la valeur absolue de x est inférieure à l'unité. Elle sera

divergente, si x est plus grand que 1. On verra plus tard, d'ail-

leurs, que, dans ce cas, les termes ne diminuent pas indéfiniment. Si a;=l, la série est convergente (22) ; car elle devient :

et SCS termes, alternativement positifs et négatifs, décroissent indéfinimetit. Si, au contraire, on fait 3?= — 1, on retrouve la série harmonique, qui est divergente.

Enfin, lorsque la série est convergente, l'erreur s commise,

cns*arrêtant au terme r, est moindre, en valeur absolue,

que —, et de môme signe que ce terme.

26. Remarque. Quand une série, dont tous les termes ne sont pas positifs, est convergente indépendammen t des signes de ses termes, on peut la considérer comme la différence des deux séries convergentes, dont l'une serait formée par les termes positifs, et l'autre par les termes négatifs. En effet, désignons par S^ la somme des n premiers termes de la série, et par S'n- et S"n' les sommes des termes positifs et des termes négatifs compris dans ces n termes; on a évidemment :

Or, à mesure que n augmente, en même temps que n' et n'\ ces trois sommes, qui sont convergentes, tendent simultanément vers leurs limites S. S', S".

Mais il faut se bien garder d'étendre cette remarque aux séries qui deviendraient divergentes si tous leurs termes devenaient positifs. On serait ainsi conduit à des erreurs graves. En voici un exemple remarquable.

La série harmonique [1] est divergente. Mais la série

rg] i i+i i + l]+.... ■ 1 1 ■

composée des mômes termes, pris alternativement avec le signe -|- et avec le signe —, est convergente (22), puisque les termes vont en diminuant indéfiniment. Nous verrons plus tard, qu'elle a pour somme (1^57) le logaritlime népérien de 2.

Or, si, en changeant l'ordre des termes on écrit :

. il semble qu*on écrive la même chose, car les deux séries [9] et [10] ont les mêmes termes positifs, 1, ô» 7» 7> , et les

mêmes termes négatifs -, -, -, Cependant leurs sommes

sont différentes. En effet, si sans changer l'ordre des termes de la série [9] on les groupe quatre par quatre, le îi™" groupe sera

et l'on obtiendra la somme s de la série, en faisant la somme des valeurs que prend ce groupe, quand on y donne à n toutes les valeurs entières possibles. De même, si Ton groupe trois par trois les termes de la série [10], le n*"^ groupe sera :

ra. i.i 1.

et Ton obtiendra la somme s' de la série, en faisant la somme des valeurs que prend ce groupe, quand on y donne à n toutes les valeurs entières possibles. Or l'excès du groupe [f] sur le groupe [a] est évidemment

4n — 2 2n ' 4n' kn — 2 4n'

ou enfin [y] - ( —- ).

On a donc identiquement, quel que soit n : / 1 . 1 1

=(! î+^ î-UV-î i.\

\4/i — 3 47Z — 2^4?i — 1 4?î/~2\2?i— 1 2nJ' Si donc on donne successivement à r^, dans cette identité, les

valeurs 1, 2, 3, ... n, et qu'on ajoute les résultats membre à membre, on aura, quel que soitn:

\kn — 3~kn—l In)

^/i L j i lUisl'-i IV

— ^\kn—^ 4n— 2"'"47i— 1 4ny^2 \2n — 1 2n/

Siron suppose enfin que n croisse indéfiniment, la première somme a pour limite s', et la seconde 5. Quanta la dernière, elle

a aussi 5 pour limite, puisque (2^^-4) ^^^^^^"" &^^"P^ de la série [9], quand on y prend les termes deux.

Donc: s'=s+-s,

d'où: s'^\s,

-Ainsi la somme de la série [10] est les - de la somme de la

série [9], Il n'est donc pas permis de changer l'ordre des termes d'une série, lorsqu'elle n'est pas convergente indépendamment des signes de ses termes.

On comprend, en effet, que, dans te cas de la série [9], la somme de ses termes positifs est infinie, ainsi que la somme de ses termes négatifs; de sorte que la somme de la série est la différence de deux infinis, quantité tout à fait indéterminée, dont la vraie valeur doit dépendre de la loi suivant laquelle on s'avance simultanément dans les deux séries.

g IV. Étude d'une série remarquable.

27. DÉFINITIONS DE 6. Parmi les séries, dont on fait usage en analyse, une des plus remarquables est la série

[2] ^ + I + ï^ + rX3 ' 1.2 3.4 ■" ■'"1.2.3 1&"" .

Nous avons vu [1 1], que cette série est convergente, et que, si

Ton s'arrête, dans la sommation des termes, au terme -r-^-^ -^

l'erreur commise est moindre que -. -r-irz — '■* ^^ représente

par e la somme de la série.

La somme e est comprise entre 2 et 3. En effet, elle est plus grande que 2 ; et, pour prouver qu'elle est inférieure à 3, il suffit de montrer que l'on a :

inégalité évidente, si l'on remarque que les termes du premier membre sont inférieurs aux termes de même rang de la progression décroissante,

dont la somme estr-f^r» ^" ^•

28. La série est incommensurable. En effet, supposons, s'il est possible, que l'on ait ;

p eiq étant entiers. Si l'on multiplie les deux membres par le produit 1.2. 3. ..g, le premier membre et les (î+1) premiers termes du second deviennent des nombres entiers : et si l'on désigne par N la somme de ces derniers, il vient :

5+l^te+l)(5+2)^(î-hl)(5 + 2){^-f-3

D'ailleurs la somme des termes qui suivent N est moindre que la somme des termes de la progression décroissante,

c'est-à-dire, moindre que -; elle est donc une fraction proprement dite. Un nombre entier serait donc égal à un nombre entier augmenté d*une fraction; ce qui est absurde. Donc la série

e ne peut être égale à une fraction -; elle est incommensurable.

29. Calcul de e avec 20 décimales. Le calcul de la valeur numérique de e en fraction décimale ne peut se faire qu'avec une certaine approximation (28). On commet une première erreur en s'arrêtant, dans la sommation de la série, à un terme d'un certain ordre, et en négligeant tous ceux qui le suivent. On en commet une seconde^ en réduisant en fractions décimales les termes que l'on conserve : car aucun d'eux, à l'exception des trois premiers, ne se convertit exactement. Or, on calcule que l'on a :

donc la première erreur, commise en s'arrêtant au 22°»« terme, est (27) moindre que — de yôTi? ou que y-^^. Si l'on calcule chacun des 19 termes qui suivent les trois premiers, avec 22 chiffres décimaux, la seconde erreur sera inférieure à 19 unités

du 22"* ordre décimal, et par suite àr--^. L'erreur totale sera

donc moindre que-— ^, et, à plus forte raison, qu'une unité du

20"" ordre décimal. Voici les valeurs de ces 22 termes avec 22 chiffres décimaux.

COMPLÉMENT DES ÉLi^MENTS D'ALGÈBRE. 23

2,71828 18284 59045 23535 84 Ainsi 6=2,71828 18284 59045 23536...

RÉSUMÉ

I. Ce que comprend le complément des éléments d'Algèbre. — 2. Ce qu'on appelle série : terme général d'une série. — 5. Ce qu'on nomme série convergente ou divergente : somme d'une série convergente. — 4. Une progression par quotient est convergente, que; d la raison est plus petite que l'unité, divergente dans le cas contraire. — S. Pour qu'une série soit convergente, il faut que ses termes décroissent indéfiniment ; mais la condition n'est pas suffisante. — 6. Caractère général des séries convergentes. — 7. Procédé ordinaire pour décider si une série est convergente. — 8. Une série, à termes positifs, est convergente, lorsque le rapport d'un terme au précédent est, à partir d'une certaine limite, moindre qu'un nombre fixe plus petit que 1. — 9. Comment on applique le théorème, quand le rapport a une limite. —

10. Limite de l'erreur commise, quand on s'arrête à un certain terme.

— li. Applications. — 12. Cas où la série est ordonnée suivant les puissances d'une variable. — 15. Une série, à termes positifs, est convergente, lorsque \jun est, à partir d'une certaine limite, plus petit qu'un nombre fixe inférieur à 1. — 14. Comment on applique le théorème. — IS. Limite de l'erreur commise. — 16. Si les termes d'une série Wo-|-w, -f-Wa -[-•••• vont constamment en diminuant, celte série est convergente ou divergente, en même temps que la série Wo-|-2u, '\-k.u^-\-^u,-\-.. . — 17. Applications. — 18. Remarque. — 19. Une série est convergente, lorsqu'à partir d'un certain terme, le rapport de

log— à log n est constamment supérieur à un nombre fixe plus grand

Un.

que 1. — 20. Comment on applique le théorème. — 21. Remarques.

— 22. Lorsqu'une série n'a pas tous ses termes positifs, elle est convergente, si elle reste convergente, quand on donne le même signe à tous ses termes. — 23. Une série, dont les termes sont alternativement positifs et négatifs, est convergente, quand les termes décroissent indéfiniment. — 24. Limite de l'erreur commise. — 23. Application. — 2G. On ne peut pas toujours considérer une série comme la différence entre la somme de ses termes positifs et celle de ses termes négatifs. Exemple remarquable. — 27. Définition de la série e. — 28. e est incommensurable. — 29. Calcul de e avec 20 décimales.

Prouver que la série

EXEIlGIGES.

est convergente, en appliquant le théorème II (n° 13).

II. Si la série t/o+ w, + wj-f- +m„ + , est convergente, il en est de

môme, quels que soient les signes de ses termes, de la série

EoWo + E,M, -f + E„u„ +....;

E«, E,, .. .. E», . . ., écant des nombres positifs décroissants.