B'B" , ,, BB'' ,„ B'B
et supposons que ces trois quantités soient classées par ordre
de grandeur ; de telle sorte que X soit la plus petite et v la plus grande. Substituons successivement, à la place de x, dans le premier membre de [8],
— 00, X — e, X+s, (X — £, (A + e, v— e, v + £, + oo ,
e désignant un nombre excessivement petit ; — - oo et oo donnent au premier membre la valeur + 1, et le résultat des autres substitutions se voit immédiatement; car chacune d'elles rend l'un, des termes infiniment plus grand que tous les autres. Remarquons, de plus, que les trois nmnérateurs ont essentiellemeiit le même signe, celui de BB'B"; et supposons, pour fixer les idées, que ce signe soit +. Les résultats sont indiqués dans le tableau suivant:
Les substitufions fournissent donc six changements de signe ; mais entre X — s et X-fe, [^ — e et {x + £, v — £ et v-f-e, la fonction passe par l'infini et est discontinue ; on doit donc conclure l'existence de trois racines seulement, l'une comprise entre X + e et m- — e, l'autre entre (x + £ et v — s, et la troisième entre v + £ et <» ; c'est-à-dire que les racines sont comprises respectivement entre X et (x, jx et v, v et oo . On voit qu'elles sont inégales, toutes les fois que les nombres X, (x, v, sont différents.
Après avoir résolu l'équation [6] et trouvé les valeurs de G, G', G'^, les équations [A][B][G], qui sont du premier degré, donnent les rapports des quanlités a, [B, y, «' p' y'j '^'^ P"? y"-
Nous laissons au lecteur le soin de discuter les divers cas par*
ticuliers que peut présenter cette solution, et notamment celui où les quantités X, (x, v deviennent égales.
534. Problème II. On propose de résoudre les trois équations : .
Ces équations se présentent lorsqu'on cherche l'intersection de trois surfaces du second ordre, dont les sections principales ont les mêmes foyers.
Si, dans l'équation [1], on chasse les dénominateurs, on obtient :
j,.6 - p.*(62 4 c2 4- a;» + î/2 + ^2) + fx2 (6 V + t^a;^ + c V+cy + ^^ V)
si l'on chasse de même les dénominateurs des équations [2] et [3], on trouve:
et ces trois équations prouvent que \j.'^y v^, p^, sont les trois racines de l'équation :
— 62^V = 0, On en conclut :
et celte équation fera connaître a;'j
RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTANTES. 357 Pour obtenir y"^ et z^y remarquons qu'en posant :
les équations proposées deviennent :
et ne diffèrent des proposées que par le changement de rc* et y^ en 2/^ et a;S et par celui de p, (x, v, en p', [x', v', de 5^ en — 6', et de c' en c^ — 6^ On peut donc écrire:
On trouvera par un artifice tout semblable :
et ces deux équations feront connaître x^ et y"^.
On pourrait arriver à des valeurs de x^^ y^y 2% par la résolution directe des équations proposées, qui sont du premier degré; mais les calculs seraient beaucoup plus longs.
Nous remarquerons enfin que p*, |x', v% étant les racines de l'équation [4], on a :
et, par suite :
formule utile dans plusieurs recherches, et dont la vérification directe exigerait quelques calculs.
555. Problème III. Désignons par v, v', v'',... les fondions linéaires suivantes des indéterminées x, y, z,...
V =ax -\-by -{-cz + • • • + h p.. jv' =^a'x-\-b'y -\-c'z-\-,, . -f l',
(Le nombre des fonctions i», v\ v'\,.. est supérieur au nombre dos indéterminées x, y y z,.,.)
Parmi tous les systèmes de coefficients x, x', x"... qui donnent identiquement :
[k] xv + xV + xV+...=ra; — K,
X, x', x",... étant indépendants de x, y, z,,.. trouver celui pour lequel la somme
est minimum.
Posons :
av + a'v' + a'V+... =1,
l)V^b'v'+bW + ... =:'ri,
^, y), Ç,... seront des fonctions linéaires de x, y, z,..,; et Ton
aura :
l = xla'' -I- ylab + z^ac + . . . + ^al,
yi=.x:ùab + y:^b'+z:Lbc+..^+m,
'■^-' H=xy,ac + yy.bc + zllc'' + . . . + y,cl ,
où la' = a' + a" + a"' + ..,,
y,ab = ab-\- a'b' = a"b" + . . . ,
et de même pour les autres 2.
Le nombre des quantités ^, -/), ^,... est égal au nombre n des inconnues x, y, -s,...; on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante:
[A] a; = A + H^-f(«K.i + (aTK+...,
dans laquelle (aa), (af), («y),... sont des coefficients indépendants de Xj y, z,... et de l, r„ 2;,... que l'on sait trouver; et celte équation sera satisfaite identiquement, lorsqu'on remplacera ç, y;, C; par leurs valeurs [3]. Par conséquent, si l'on pose :
a'(aa)+^''(«W+C>r) +...=«',
en multipliant respectivement ces équations par v^ v\ v'\... et en les ajoutant, on aura identiquement, en vertu des équations
[2] et [A]:
[5] aU+-aV+aV + ...=a? — A,
pourvu que Ton remplace v, v', v'\... par leurs valeurs [1].
Cette équation montre que, parmi les différents systèmes de coefficients x, x', x"..., qui satisfont à la condition [k], on doit compter le système :
On aura d'ailleurs, pour un système quelconque, en retranchant l'identité [5] de l'identité [k] :
(x«)t; + (x' — ay+(x" — a>'' + ...=:A — K;
et cette équation étant identique, en vertu des équations [1], entraîne les suivantes :
(^a)a+ (x' — a>'+ (x'^ — a'Oa"+ . . . = 0, (^«)?> + (.'a>'+(x''-«7/ + ...=0, (^a)c + (x' — «y + (x" — «>" + ...= 0,
que Ton obtient en remplaçant v^ v\ v"... par leurs valeurs [1], et en égalant à zéro le coefficients de Xy y, z.,. Ajoutons ces équations, après les avoir multipliées par (aa), (a|S), (ay); nous aurons, en vertu du système [4] :
d'où en doublant cette égalité, et en la retranchant de l'identité :
Par conséquent, l'expression
aura une valeur minimum, lorsqu'on aura :
556. Expression du minimum. Les valeurs de a, a', a",... sont détinies par les équations [4] ; et pour les obtenir, il suffira d'y remplacer (aa), (aj3), (ay), par leurs valeurs, que l'on pourra déduire des équations [3] par les méthodes connues. Mais le minimum s'obtiendra de la manière suivante. L'identité [5] montre que l'on a :
'aa+aV + a"a"+... =1,
.U. + b'a' + b"a"+.,.=0, ^^^ Va + c'a' + cV+...=0,
équations que l'on obtient, en remplaçant v, v', v",.,. par leurs valeurs [1], et en identifiant les coefficients de x, de y, de z,.. dans les deux membres.
Multiplions ces équations, respectivement, par (aa), (ap), (ay), et ajoutons-les, en ayant égard aux relations [4]; nous trouverons :
[7] a' + «'2 + a"2 + ... =(aa).
Ainsi (aa) est le minimum cherché.
557. Valeurs adoptées pouro;, t/, r... Si t;, v\ v" étaient nuls, l'identité [5] montre que la valeur de œ, qui vérifierait les équations [1], serait x = A.. Mais le nombre des équations
étant supérieur au nombre des inconnues, il est, en général, impossible de satisfaire rigoureusement à ces équations. Dans celte circonstance, les géomètres adoptent la valeur a; = A,
comme satisfaisant aussi exactement que possible aux équations. Un calcul analogue fournirait les valeurs que l'on adopterait pour 2/, Zj... et que nous désignerons par B, C...
On peut prouver que ces valeurs, sans annuler toutes les quantités v, v', v'\ ce qui est impossible, rendent la somme de leurs carrés aussi petite que possible. Mais disons d'abord pour quelle raison les coefficients de ces diverses formules ont été désignés par la notation que nous avons adoptée.
Nous avons trouvé plus haut :
On peut prouver d'une manière analogue que Ton a :
(ap) = aP + ar + aT+...
En effet, p, p', p"..., vérifient lés formules ;
ap + a'B'+aT+...=0 cp4-c'p' + c"f + ... =0
Si Ton multiplie les valeurs de «, a , [4], par p, p. . . . et
qu'on ajoute les résultats, on trouvera, en ayant égard aux équations [8] qui définissent S, p'. . . :
[9] ap + «'p' + aT+...=(«P);
et la démonstration sera la même pour les autres formules analogues. On voit donc que la notation, adoptée pour les coefficients, sert à rappeler la formation des expressions qui leur sont égales.
