Minimum de î)^+^'^+^"^ + ' •• Si dans l'équation
u ^= ao; + è?/ + CZ+ . . . + ^»
on substitue à a;, y, z.,. la valeur trouvée plus haut [A], et les valeurs analogues, on obtiendra, en ayant égard aux formules [4] :
[10] . <y = a^ + p.,, + yr|..^.+X,
en posant: X = aA + 6B-|-cG + ... +Z.
On aura de même :
[10] {v'=^"l+fn+^X + ...-hi'\
{V = a'k + b'B+c'G + ...+l\ en posant: h"=a"k + b"B + cT + ,. . +1";
c'est-à-dire en représentant parX, X', X"... les valeurs de v, v\ v'\.. qui résultent des valeurs A, B, G... de x, y, z... Si nous posons actuellement :
nous pourrons former cette somme, en ajoutant les équations [1], après les avoir respectivement multipliées par v, v', v\..; et nous trouverons, en ayant égard aux équations [2] :
aiz=x + yiy + t:z + ,.,+lv + l'v' + rv' + ,,.
En substituant, pour v, v\ v'\..j les valeurs trouvées plus haut, et en remarquant que l'on a, en vertu de l'identité [5] :
il viendra :
ll=:.Ea;+vi?/ + Cr + ...-^A — r,B — ^G... + >Z + X7' + XT + ...
Mais, en multipliant respectivement les équations qui définissent X, X', X"... par X, X', X"..., et en les ajoutant, on trouve :
j^^^l'i^r^j^^ . . ==x^|x7'+XT+. . . +(Xa+XV + XV. . . )A
i.(X&)..V6' + X'r+...)B + (Xc + XV+XV + ...)G + ...
Or chacune des quantités, entre parenthèses, est nulle d'ellemême; car (Xa + X'a' + >^V + .. .)t par exemple, est la valeur que prend l [2], quand on y remplace Vj v', v'\... par X, X', X",... ou, ce qui est la même chose, a;, y, ^..., par A, B, G...; et cette substitution annule ^, comme on le voit d'après les équations [3] et ]A].
RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTANTES. 363 Ainsi, l'on a :
l^^l'^ + \"^ + ...=ll + \'l' + \'T...;
et, par suite :
û = ^(a?-A) + >i(î/~B) + Ç(ir~C)...+X^ + V^ + V^^ + ...
Substituant pour(a?— A),(î/— B), (^— G)..„les valeurs fournies par l'équation [A], et les équations analogues en y^ z..., il vient :
ne qui, d'après les formules démontrées plus haut [7], [9], [10], revient à
Par où l'on volt que
est, comme nous l'avions annoncé, le minimum de Q.
RÉSUMÉ
552. But de ce chapitre. — • 533. Simplifier le premier membre d'unéquation da second degré, à trois variables, en cha- géant les direce lions des axes coordonnés, sans qu'ils cessent d'être rectangulaires. — 554. Trouver les points d'intersection de trois surfaces du second ordre, dont les sections principales ont les mêmes foyers. — 55o, 356, 557, 558. Résolution d'un système, dans lequel le nombre des inconnues est inférieur à celui des équations, par la condition que la somme des carrés des premiers membres de ces équations soit un minimum, ou méthode des moindres carrés.
