Problème II. Examiner si V égalité

ad — bc ac — bd

entraine Vègalitè

roi ac — bd a + b + c + d

Il faut, conformément à la méthode indiquée, déduire de l'égalité [l] la valeur de l'une des quatre lettres qu'elle renferme, et substituer celte valeur dans l'équation [2], qui doit alors devenir identique.

Si l'on chasse les dénominateurs de l'équation [1], il vient :

a'd — ad{h-\-d — c) — abc-\-hc{h-\-d — c) ,

= a'^c — ac{h -\- c —d) — ahd-\-hd{h-{-c — c/),

ou, en réunissant les termes en a, et réduisant :

Si l'on divise tous les termes par (d — c), il vient :

ce qui peut s'écrire :

ou, en divisant par (a — - 6) :

fl + 6 — c — ci = 0, c'est-à-dire : a = c + rf — b.

Si l'on remet cette valeur dans l'équation [2], elle devient :

c'^ + cd—cb — bd 2c-{-'2d 2c^2b "~ 4 '

ce qui a lieu identiquement.

Remarque. Nous avons supprimé, dans les équations [3] et [4], les facteurs (d — c) et (a^b). Le résultat n'est donc applicable que dans le cas où ces deux différences ne sont pas nulles. On peut vérifier, en effet, que pour a = b comme pour c-=d, l'équation [1] devient identique, et ne peut, par suite, entraîner aucune conséquence.

RÉSUMÉ

95. Lemme sur la valeur et le signe d'un polynôme, lorsqu'on donne à la variable une valeur très-petite. — 94. Théorème sur les conditions d'égalité de deux polynômes contenant une lettre arbitraire. — Extension de ce théorème au cas où les deux polynômes renferment un nombre quelconque de lettres arbitraires. — 96. Moyen de vérifier une équalion entre diverses quantités arbitraires. — 97. Cas où ces quantités arbitraires sont liées par certaines relations. — 98, 99. Application à quelques problèmes.

EXERCICES

L Vérifier que les deux équations :

entraînent la suivante : ' ^ ' s V'^ ^

n. Vérifier que les deux équations :

entraînent la proportion : 7)~w*

IIL Vérifier que le volume d'un segment sphérique à deux bases,

iitH3 + l7rH(R2 + r2),

est la différence de deux segments sphériques à une hase, ^.yaut R et r poui rayons de bases, c'est-à-dire , qu'il est égal à

H' et /i' satisfaisant aux conditions que la géométrie indiqua facilement : ,

H'-^'=H, p^=R^ + (p-H')S P^=r2 + (p-/i7, p étant le rayon de la sphère.

On applique, pour ces trois exercices, la méthode générale (0!?).