CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES
coefficients sont premiers entre eux. Nous allons démontrer que le produit de deux fonctions primaires est encore une fonction primaire.
Pour le voir, il suffit de remplacer dans les considérations précédentes les coefficients Aq, ^i, • • • , cim psir des fonctions rationnelles et entières des m — i variables^, 5, ... ; une telle fonction sera dite divisible par/?, lorsqu'il en sera ainsi de tous ses coefficients. En supposant que le théorème ait été démontré pour des fonctions de m — i variables, la formule (i) permet de démontrer qu'il en est de même pour le cas de m variables; or il a été démontré pour le cas d'une seule variable et, par suite, il est général.
En raisonnant d'une manière analogue, on prouve qu'un produit de deux ou plusieurs fonctions entières ne peut être nul, à moins qu'un de ses facteurs ne soit nul. Une fonction nulle est en effet divisible par tout nombre premier/?.
Une fonction non primaire est une fonction dont les coefficients sont entiers et admettent un plus grand commun diviseur. Ce diviseur sera dit le diviseur de la fonction. Notre théorème peut alors s'énoncer :
Le diviseur du produit de deux fonctions entières est égal au produit des diviseurs de ces deux fonctions.
Soient en effet PA et QB deux fonctions entières ayant pour diviseurs P et Q; A et B sont des fonctions primaires, et de même leur produit AB = C. Or PA.QB = PQ.C.
Donc PQ est le diviseur de ce produit.
En nous plaçant dans le cas d'une seule variable, on peut donner à ce théorème la forme suivante, sous laquelle il est particulièrement utile, sans changer notablement son sens.
Soient
çp(a7) = ar"* H- ajar"»-* -t- 9l^x^-^ -H . . . -H «/« , ^{x)— a:"-»- Piar«-*-l- ^2 a?"-» -H . . . -i- P»
deux fonctions rationnelles entières, dans lesquelles les coefficients des plus hautes puissances de x sont égaux à l'unité,
tandis que les autres coefficients sont des nombres rationnels;
les coefficients du produit
o{x)^{x) = ar"»-*-'» -t- Yi a7"«+'»-i -+- . . .-h Y,«-i-/»
3o LIVRE I. — LES PRINCIPES.
ne peuvent être tous entiers, à moins qu'il n'en soit ainsi des coefficients ol et ^ de 'f (^) et i^{x).
Désignons en effet par a^ le plus petit commun dénominateur des coefficients a, par 60 celui des coefficients p; les fonctions «0 ?(^) = A(^), 60 ^(^) ^ B(^) seront des fonctions primaires de^. Si les nombres y étaient entiers, le produit ao éo?(^)^(^) admettrait pour diviseur «0^0 <^t ne serait donc pas primaire, ce qui est impossible. Donc les nombres y ^^ peuvent être tous entiers.
§ 3. — Division.
Soient
deux fonctions rationnelles et entières de jc; on suppose m^n^ et «0 ^0 7^ o. Dans ce cas la différence
est aussi une fonction rationnelle et entière de x, dont le degré est inférieur à m, puisque les termes de plus haut degré ont le même coefficient dans les deux termes de la différence et, par suite, se détruisent.
Désignons cette différence par A',
(3) A' = M{x) = a'ox'"' -h a\ ar"»'-! +. . ., m' < m.
Si /n' est encore supérieur à /i, nous pourrons remplacer A par A' et m par m' dans la formule (2), et répéter un raisonnement analogue. Nous formons ainsi la suite d'égalités
j A' — ^ ar'»'-'» B = A%
(4) < Oo
