CHAPITRE I. — FONCTIONS BATIONNELLES

termes de la forme «pt^'"""*' par les termes de la forme frv-ii^""^"*'** et faisant la somme des produits obtenus. Si «0 = ^0 = ' j on a aussi Co = i .

Donc : Si, dans plusieurs polynômes, le coefficient de la plus haute puissance de x est égal à i , il en est de même dans leur produit.

Des règles de calcul que nous venons d'établir pour les fonctions entières, il suit que toutes les propositions, telles que

ab — ba^ {ab)c = a{bc), {a -i- b)c = ac -h bc,

restent vraies, même lorsque «, 6, c sont des fonctions entières; on ne considère comme égales que des fonctions où les termes de même exposant ont aussi le même coeffîcient.

Nous appelons fonctions de plusieurs variables des sommes de termes, dont chacun est un produit de puissances entières des variables x^y^ z, et peut être multiplié par un certain coefficient constant. Ces fonctions peuvent être considérées comme déduites d*une fonction d'une seule variable x^ dans laquelle on considère les coefficients a^^ ai, . . ., a^ comme fonctions d'autres variables^, z, .... C'est ainsi qu'uile fonction de m variables résulte d'une fonction de m — i variables. Tous les termes d'une telle fonction sont de la forme x^y^z^^ . . . , multipliés par un certain coefficient; en réunissant en un seul tous les termes semblables, chaque combinaison r, 5, t ne se produit qu'une seule fois. Deux fonctions entières ainsi ordonnées ne sont considérées comme égales que si les termes semblables ont les mêmes coefficients; une fonction entière ordonnée n'est nulle que lorsque tous ses coefficients sont nuls.

§ 2. — Un théorème de Gauss.

Comme application de la règle de multiplication de deux fonctions entières et rationnelles, nous allons démontrer un théorème dû à Gauss (*), qui nous sera utile plus tard, mais qui, pour

(*) Gauss, Disquisitiones arithmeticœ, Art. 42.

l'instant, nous servira d'exemple pour la manière d'exécuter le calcul.

Nous ferons l'hypothèse que les fonctions A(x) y B(x) ont pour coefficients des nombres entiers, de sorte que, d'après (4), il en sera de même pour leur produit C(^) = A(x). B(x).

Lorsque tous les coefficients entiers d'une fonction A (^) sont premiers entre eux, la fonction A(jj) est dite primaire (ursprûngUch, primitiv) ; le théorème que nous voulons démontrer s'énonce alors de la manière suivante :

Si les fonctions A(x) et B(x) sont des fonctions primaires^ il en est de même de leur produit C(^).

La démonstration découle presque immédiatement de la formule (4). Si, en effet, tous les coefficients c^, c», ..., Cm+n fournis par (4) ont un diviseur commun supérieur à i , il existe au moins un nombre premier qui les divise tous exactement. Soit/? ce nombre; d'après l'hypothèse faite sur A (x) et B(^), ce nombre ne peut diviser ni tous les coefficients a, ni tous les coefficients b.

Supposons que p divise a©, «i , . . . , ar^\ , mais non Or ; que, de même, il divise 6o> ^4» •• • î ^s-xt mais non bs] on aura alors r'^m, s^n; d'ailleui^s /- ou s peuvent être nuls si l'on suppose que p ne divise pas Uq ou Bq,

Formons alors le coefficient Cr+s d'après la formule (4)» et écrivons-le de la manière suivante :

( Cr+s = «r^j ■+■ CLr-i ^j-hi H- «/—s bg-^r -4- . . . . ( -+- ût/«-»-i Os—\ -4- €lf>-¥% Os—t -4- . . . ■

Par hypothèse, le premier terme du second membre n'est pas divisible par/?; tous les autres termes le sont, puisqu'ils renferment en facteur l'un des coefficients «q, a* , «2, . . . , ar i , 6o» • • • 7 ^^-i î donc Cr+j n'est pas divisible par/?. Donc si A (a:) et B(^) sont des fonctions primaires, il n'existe aucun nombre premier/? divisant tous les coefficients de leur produit G(^). Donc C(^) est une fonction primaire.

Ce théorème s'étend au cas des fonctions entières de plusieurs variables. Nous dirons qu'une fonction entière et rationnelle de ni variables, à coefficients entiers, est primaire lorsque tous ses