CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES. 3l

et celte suile se continue jusqu^à ce que le degré de la nouvelle fonction obtenue soit inférieur à n. Dans la suite de fonctions A, A', A", le degré d'une fonction quelconque est inférieur, d'une unité au moins, à celui de la précédente. Il j a donc, au plus, m — 71 -i- I équations (4); il peut y en avoir moins si le degré s'abaisse de plusieurs unités en passant d'une fonction à la suivante. Additionnons ces égalités membre à membre; désignons par C la dernière des fonctions A, A', ... ; posons, pour abréger,

(o) Q = T^ ar'«-«-+- -7^ a:"»~« -+-... ;

Qsera aussi une fonction rationnelle de a?, et il vient

(6) A = QB-f-G.

On appelle division l'opération que nous venons de faire, et qui consiste à déduire les fonctions Q et C des fonctions A et B; A est le dividende, B le diviseur, Q le quotient, R le reste. Le degré du reste est toujours inférieur à celui du diviseur.

Les coefficients des fonctions Q et C se déduisent des coefficients a et b par addition, soustraction, multiplication, division. Au dénominateur ne figurent que des puissances de bo] si donc bQ = ij les coefficients des fonctions Q et G sont des fonctions entières des coefficients a et 6. La plus haute puissance de b^ qui puisse figurer au dénominateur est ij*"""*"*; car, en passant d'une équation à la suivante, il figure un facteur bo de plus au dénominateur. D'ailleurs, dans certains cas, l'exposant de bo dans tous les dénominateurs, peut être inférieur km — n -h i .

Prenons, par exemple, pour A la fonction du troisième degré,

(7) /(r) = aoa:^ H- aïo:-* -+- ajXH-âfs,

pour B la première dérivée de /(a:), c'est-à-dire la fonction du second degré

(8) f'(x) = ^aoX^-^^aiX -{- at, on trouve alors

9ao 9^0

Il nous sera permis de supposer connu le procédé opératoire et la disposition au moyen de laquelle on effectue les calculs indiqués par les équations (4). Nous ferons simplement remarquer l'analogie qui existe entre ce calcul et la division dans le système décimal. Une fonction /(^r) représente un nombre écrit dans le système décimal lorsque les coefficients Uq, «i, ... sont des entiers tels que o, i, 2, . . ., 9 et qu'on pose ^r = 10; si l'on admet que les coefficients peuvent être plus grands que 10, un même nombre peut être représenté par différentes fonctions /(j:). On emploie cette remarque dans l'opération de la division pour éviter, de la façon la plus simple, les coefficients fractionnaires et négatifs dans les résultats.

De même que dans la division de deux nombres, écrits dans le système de base 10, on peut continuer une division qui ne se fait pas exactement à l'aide des nombres décimaux, on peut aussi, dans la division de deux fonctions, pousser le calcul plus loin qu'on ne l'a fait.

Soient ^(x) une fonction de degré m, ei/(x) une fonction de degré /i, aucune hypothèse n'étant faite sur les grandeurs relatives de m et de n. Appelons v un exposant suffisamment élevé et appliquons la règle de la division pary*(a:) à la fonction x^^{x) ; soit 4>v(^) le reste, de degré n — i au plus ; on aura donc

(11) a^v* (^) =/(x) {Cn-m-i a:"»-«-+v ^ c„-,„ a^m-zi-hv-l ^...h- c^-j) -H *v(ar).

Les coefficients c,i,„„«, c„m, c,i m+i, . • . sont déduits par des opérations rationnelles des coefficients def(x) et de ^(x). Le coefficient Cx est indépendant de v, sous la seule condition v > x.

Si, en effet, on remplace, dans la formule (11), /(j?) et <ï>(a:)par

/(x) =aoX^ -h ai a7'»-i h- . . . -f- a«, on trouve, pour le calcul des coefficients successifs, les équations

Cette suite d'équations peut être continuée aussi loin qu'on