CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. iSg

pour le reconnaître simplement, il suffit (d'après le paragraphe précédent) d'attribuer à la variable x le poids i, ce qui a pour effet de transformer /i et Pj en fonctions isobariques de poids s.

Quand le poids devient négatif, la fonction est nulle. Par exemple, en supposant n^ m^ on a

si w = /?! , on a

Nous n'emploierons la formule (7) que dans l'hypothèse s^n — m, de façon que m — n-\-s ne soit jamais négatif; s prendra donc seulement les valeurs

Dans le cas de ^^/i — m, nous écrirons

(9) (px*-t = A,,.,a-«-i -4. A2,.ça7«-»-h...-i- A;,..ç, s prenant l'une des valeurs

Ces quantités kr^s sont alors des fonctions linéaires des seuls coefficients 6/. En effet, s'ils ne sont pas nuls, ils sont exactement égaux à ces coefficients; on a

(10) Ar.f = hm-n^-s-^r-\ » /l — /7l-l-i:lr-|-5Ç/l-+-l,

et on a A^,^ = o, lorsque ni — /i -f- 5 4- /* — i est négatif ou supérieur à m. Lorsque Ar,j n'est pas nul, son poids est donc égal àm — n -\- s -\- r — i.

Pour n'avoir qu'une formule unique, introduisons un symbole /?j, tel que

( p^ = ar^-i pour s — 1,2, ...,/i — w,

( ^, =y,, pour 5 = /i — //i-h I, . . ., /i ;

Pi est, dans tous les cas, du degré s — i par rapport à x. Les équations (7) et (9) se ramènent alors à

(12) ^Pi = A,,,a7«-ï ^ A2,,a7«-î -h. . .-f- A„,, -f- qsf\

dans cette formule q^ est égal à o,«^/i+t i, ou égal à zéro, si m — n -\- s — I est négatif.

Si maintenant f{x) et ç(^) s'annulent simultanément pour une certaine valeur de x^ celle valeur vérifie Téquation obtenue en supposant /= «p = o dans (12); on obtient ainsi un système d'équations dont le déterminant devra être nul (§ 27, II). La condition pour qu'il en soit ainsi est

Ai,î Aj,i ... A/iji

Ai,/i Ajj/t ... A/},/t 1

R est donc le résultant Ae f et de «p. On conclut immédiatement de ce qui a été dit sur le degré et le poids des coefficients A^,,, que cette expression R est de degré m par rapport aux coefficients <2|, de degré n par rapport aux coefficients t/, et de poids mn, ainsi que cela devait être.

Nous allons démontrer quelques propositions importantes relatives au déterminant R et ses mineurs.

I. Si les deux fonctions f et ^ ont un diviseur commun de degré n — r, tous les mineurs deK à r -i- i lignes et colonnes sont nuls.

Pour le prouver, choisissons r + i indices quelconques a,, tta, . . . , ^r^\ parmi les indices i, 2, . . . , w, et écrivons les équations, analogues à (12)

T/'at — /^a, =A,.a, a:''-»-f- Ai,c(, a7«-* -+-. . . -4- A„,a, ,

,.M ; ?/^«« — Aa, =Ai,«, ar«-«H-A2.a, ar«-» -+-. . . -4- A„,a, ,

?/>ar+. — /7ar+. = Ai,a,+.ar'''-»-l-A2,ar+,a7'»-«-+-...-+-A«,a,^,.

Soient C|, C2, ..., c^+ï des constantes quelconques; posons

G,= Cl A,, oc, ■+■ ^î^f.a, -i-..--H-c,^,A,,a^^, ; il vient alors, d'après (i4)î

(16) <?P — /Q = C,x«-» H- Cja?«-* H-. . .H- G« = G(^).

Mais on sait (§ 27, 111) que, dans tous les cas, on peut choisir les