CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES

riques est encore une fonction isobarique; le poids du produit est égal à la somme des poids des différents facteurs.

Les résultants sont des fonctions isobariques des variables an et bky de poids mn.

Les fonctions y et cp elles-mêmes peuvent être transformées en fonctions isobariques, en attribuant le poids i à la variable x,

in. Si, dans une fonction isobarique, on remplace les variables par des fonctions homogènes d'autres variables quelconques^ le degré de ces fonctions étant égal au poids des variables qu^ elles remplacent, cette fonction isobarique devient une fonction homogène des nom elles variables, dont le degré est égal au poids de la fonction isobarique.

Supposons que les fonctions f{x) et 'f (^) aient été obtenues en ordonnant, par rapport à x, deux fonctions homogènes des variables x^y^ s, ...; les coefficients an et bk seront des fonctions homogènes, de degré A", des variables j'*, z^ ... ; on conclut alors des propositions II et III la suivante :

IV. L élimination de la variable x entre deux fonctions homogènes de degrés respectifs m et n donne une équation résultante de degré mn par rapport aux autres variables.

Si l'on attribue aux variables a^ et b^ les poids N -}- A* et M + A*, au lieu de Ar, N et M étant deux nombres quelconques, on déduit des formules (i4) et. (i5) que le poids du résultant de / et ^ est égal à

(16) mN-h nM -h mn.

C'est aussi le degré du résultant, lorsqu'on remplace les quantités ak et bk par des fonctions de degré N + Ar et M + A' des nouvelles variables.

§ S4. — Détermination des facteurs communs.

On est conduit à une solution élégante du problème de l'élimination en utilisant les fonctions fs{x)^ définies au § 4; cetle méthode permet de déterminer en même temps les facteurs communs à f{x) et (f (x).

l88 LIVRE I. — LES PRINCIPES.

Ces fonctions sont définies par les équations

/o(^) = «o, (0 \fi(x) = aoX*-Jt-aiX'^at,

fn{^) est donc identique à la fonction primitivement donnée f{x). La fonction fs{x) est du degré s par rapport à x; si l'on pose

(-2) f{x) = x'^-sfs{x) H- F,(:r),

on a

(3) F^(ar) = a,4-i^"-*-* -+- a^+jx«-*-» -h. . .h- a„;

c'est une fonction entière du degré n — s — i .

Désignons par Oj(^) et ^s{x) les fonctions analogues pour la fonction ^{x) de degré /?i, de sorte qu'on écrit

Io {x) = a7'"-'^<p,(jr) -h *,(a7), On conclut de là que

( = ^//i -sjn—s t* n—s^ m—s-

Faisons l'hjpothèse

le second membre de l'équation (5) sera du degré n — i par rapport à X. Remplaçons s par n — a* -f- i , et posons

(7) ?/*-i = Ai,,^''-»^- A5,5:r''-«-i-...-+- Art,,-i-/cpt»-n-4-j-i;

dans cette formule, on devra remplacer Oni n^^\ par zéro, sitôt que m — n -{- s — i devient négatif.

Les coefficients Ar,j sont des fonctions homogènes et linéaires par rapport aux coefficients a/ et bi. Ils sont isobariques et leur poids commun est