CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. I9I

constantes C|, Cj, . . . , Cr+i de façon que l'on ait

(17) Cl = o, Cl = o, ..., G/. = o;

la fonction C{x) est alors au plus du degré n — r — i en x. Mais tout diviseur commun à / et cp est aussi diviseur de C(x) ; ce qui n'est possible que si les conditions (17) sont vérifiées en même temps que

(18) G,«+| = o, Gr-i-j = o, ..., G/i = o.

Cela exige (§ 27, I) que tous les déterminants de degré /'-i- i, déduits de la matrice

Al, a, Aj,a, . . . A/i,a, ,

/ X ^ Ai,(x, Aj,aj .-. A;,,flt.,

Ai,ar+i ^i,ar+i ••• Afl^ar+ii

soient nuls; c'est ce qu'il fallait démontrer. Réciproquement :

IL Si tous les mineurs de B. à r -{- i lignes et colonnes sont nuls, les fonctions f et ^ ont un diviseur commun de degré n — r.

Les déterminants de degré r -h i de la matrice (19) sont alors nuls; on pourra donc déterminer les constantes C|, ..., Cr+i de manière à vérifier les équations (17) et (18); 0{x) sera donc nul sans que tous les coefficients c/ soient nuls. Prenons pour ai, aj, . . . , a,.^! la suite

d'après les équations (i5), P est de degré r au plus; d'après (16), ^P est divisible par/. Donc y et/ ont un diviseur commun dont le degré est au moins égal an — r.

Appelons mineurs principaux de R les déterminants

(•21) . R;. = Sit A,,, A,,, ... A,.,^;

en particulier, R/, sera identique à R; on peut alors donner au dernier théorème démontré la forme suivante, plus significative :

IlL Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les

fonctions f et o aient un diviseur commun de degré n — r

sont

Rrt = R/i— 1 = . . . = R/.-t-i = o, R^ 3?!^ o.

Supposons, en effet, que/et y aient un diviseur commun du degré n — /* — i, et qu'en outre R^+i soit nul^ faisons sur les nombres a,- l'hypothèse (ao). Par suite de Thypothèse R^+i =0, on peut déterminer pour les constantes C/ des valeurs qui ne soient pas toutes nulles, vérifiant les conditions

0{x) est alors au plus du degré n — r — 2; cette fonction est donc identiquement nulle, puisqu'elle est divisible par tout diviseur commun à y et o, c'est-à-dire par une fonction du degré n — r — I. On en conclut alors, comme précédemment, que / et ^ ont un diviseur commun du degré n — r. D'après (10), A^-,, est nul lorsque r 4- «s est inférieure /i — m-f- i, et égal à 6© lorsque r-\- s est égal k n — m + 1 ; il faut donc que

Cette quantité est donc différente de zéro, tant que © est réellement du degré m\ résultat d'accord avec ce fait que, dans ce cas, le plus grand commun diviseur de / et (f ne peut être de degré supérieur à m.

IV. En supposant vérifiées les conditions du théorème lit, le plus grand commun diviseur de f et de o peut se représenter par le déterminant suivant :

Ai.i Aj.i ... A,.,,, Ar,i:2;«-'-+- Ar-^i,iT«-''-» -h... n- A;,,i j

Ai,i A2,2 ... Ar-i,i A;.,;T«-'--h A;.+i,2a"«-''-i-h... -t-Afl,,

A,,,. Aî,r .-. A,.-,,;. Ar,,.:r«-''-+- Ar-n,/.^'»-'*-* H-... -4-A„,r

D'abord, celte fonction est du degré n — r, le coefficient de j:""'" est R;-; il est, par hypothèse, différent de zéro. De (12) on conclut

= 9Ps~fÇs — A,,,.a7«-J — Aî,.,j^«-2 — . . .— Ar-i,,a7«-''^ï ;