CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. IqS

OQ en déduit, d'après le théorème sur Taddition des colonnes d'un déterminant (§ 25, VII),

A,,i Aj,! ... Ar-1,1 ^Px—fqi Ai,s A,,î . . . Ar- i,î <p/?s —fqt

Tr =

Ai,r Aj,j

A/— l,r ^Pr—fqr

Développons ce déterminant par rapport aux éléments de la dernière colonne; posons

(25) il vient

Pr =

A.1,1 Aj^i . . . Ar-1,1 P\ Ai,t Aj^j ... Ar-i,j />j

Qr se déduisant de Pr par l'échange des lettres/? et q.

y et ç admettent par hypothèse un plus grand commun diviseur du degré n — /■; il devra donc diviser T^; comme il est du même degré que T^, il est donc identique à IV-

La fonction T^ est homogène et de degré r par rapport aux coefficienls 6 de (p; par rapport aux coefficients a de/, elle n'est que de degré r — n-\- m] car les n — m premières lignes du déterminant (28) ne contiennent pas ces coefficients a. Si donc on désigne par s = n — r le degré de T;- par rapport à x, T^ sera de degré m — s par rapport aux coefficients a et de degré n — s par rapport aux coefficients b.

Pour obtenir le poids de T^, donnons à la variable x le poids i . Le déterminant est alors une somme de produits, dont on obtient le poids [d'après (8)] en àttribuanti dans l'expression

aux lettres A et A* la suite des valeurs de i à r dans un ordre quelconque et en faisant la somme des nombres ainsi obtenus. La somme de toutes les valeurs de h -\- k est égale à r[r-\- i); le poids cherché est donc égal à r{m — n-{- r)ou, en posant encore n — r = 5, à [m — s){n — s). D'où cette proposition :

V. La fonction T„s ^st du degré s en x^ du degré ni — s W. i3

194 LIYRB 1. — LES PRINCIPES.

par rapport aux coefficients de /, du degré n — s par rapport à ceux de ^ ; elle est isobarique et du poids (m — s) (n — s).

Lorsque, R élaDl nul, le mineur B/}i n'est pas nul, lorsque, par conséquent,/ et ^ n'ont qu'une seule racine commune, on peut déterminer les différentes puissances de l'inconnue à l'aide des équations (12) qui donnent

Ai,,a7'»-'-h Ai,,a7»-*-f-. . .-h Art^, = o, 5 = 1,9., ...,/i — i. En désignant par R/,;t les mineurs de R, on en déduit

( ^7 ) .r — —- % X« = , . . • , a:'» ' — rr

Dans ces formules R,,^,, n'est autre chose que R/i i; si donc on pose R/ï i,/i = S„i, on aura

(iS) x =

§ 55. — Élimination. — Théorème de Bézout. Lorsque dans les deux fonctions

les coefûcients a et b sont eux-mêmes des fonctions entières d'une quantité y^ le résultant sera aussi une fonction de y que nous désignerons par F (y). Former cette équation s'appelle éliminer X entre les deux équations (i).

L'équation

a pour racines toutes les valeurs de^ telles que les deux équations

aient une racine commune. La condition (2) étant supposée vérifiée, on trouve les valeurs de x qui satisfont aux deux équa-