CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. igS

lions (3) en cherchant le plus grand commun diviseur de/(j:) et o{x). Si les deux équations n'ont qu'une seule racine commune, ce plus^grand commun diviseur est du premier degré et détermine, par conséquent, x rationnellement. Dans le cas de plusieurs racines communes, la recherche de ces racines exige encore la résolution d^ine équation de degré supérieur au premier. Si à chaque racine du résultant ne correspond qu'une seule racine commune x^ le nombre des couples de valeurs de x et de j^, (|ui satisfont aux équations (3), est égal au degré du résultant par rapport à y. Si donc les coefficients a sont par rapport à ^ du degré v, et les coefficients b du degré |jl, il résulte de ce qui a été dit au § 53 que le degré du résultant est égal à

(4) nv-+-mfx;

c'est le nombre des solutions du système (3). Ce nombre peut être diminué, lorsque, par suite d'une forme particulière des coefficients, la plus haute puissance de^ disparaît dans le résultant. Il faut alors considérer des racines infinies, si Ton veut encore trouver un nombre de solutions égal à (4). Le cas des racines multiples donne aussi lieu à des objections.

On remédie partiellement à ces inconvénients, en partant de la forme homogène des équations, forme sous laquelle le problème de l'élimination se présente surtout en Géométrie.

Supposons, en effet, que la fonction /(x) ait été obtenue en ordonnant, par rapport à Xy une forme homogène des trois variables j:, y y z (une forme ternaire); les coefficients a^, ai, ri2, . . ., a/2 sont alors des fonctions homogènes des deux variables y et >s, dont le degré est égal à l'indice; a^ est une constante, «i une fonction linéaire, «2 une fonction quadratique, etc. Il en est de même pour les coefficients bo, ti, 62, ...^bm de la fonction cp(^).

En représentant par j:, j^, z des coordonnées trilinéaires dans un plan, f(x) = o el^{x) = o représentent deux courbes d'ordres respectifs n et m ; les solutions du système formé par ces deux équations (les rapports mutuels de x^ y^ z") représentent les points d'intersection de ces deux courbes. L'équation résultante, obtenue en éliminante, est une équation homogène dont le degré est égal à mn [§ S3, (i5)].

Actuellement le degré ne peut diminuer; l'équation résultante est toujours une équation de degré mn par rapport aux deux inconnues y et z. Le seul cas exceptionnel à signaler est celui où le résultant est identiquement nul (quels que soienly et z)\ il y a alors une infinité de racines communes. Pour que ce cas se présente, il faut et il suffit que les fonctions / et ç, considérées comme fonctions de x^y^ 5, aient un diviseur commun (§ 20). Il se présente encore lorsque /et <p ont un diviseur commun, fonction seulement de j^ et de s; il entre alors en facteur dans le résultant. Il n'existe alors qu'un nombre limité de valeurs pour le

rapport -; mais il leur correspond une infinité de valeurs pour x»

Géométriquement cela revient à dire que les deux courbes ont une partie commune, et ne se coupent pas seulement en des points isolés.

Tout ce qu'on peut dire sur cette question à un point de vue rigoureusement algébrique, découle du § 54. Nous supposerons que les coefficients ai et A/ des fonctions (1) sont des fonctions entières de degré i d'une variable j^, de sorte que le degré d'un terme par rapport ky est égal à son poids.

Si /et cp, considérées conime fonctions de x cl de y^ ont un diviseur commun, les équations /= o et o = o ont une infinité de solutions. Dans tout autre cas, Téliminalion de x conduit au résultant R de degré mn par rapport à y. Ce degré peut s'abaisser lorsque les coefficients des plus hautes puissances de y sont nuls. 11 n'y a donc pas plus de mn valeurs àe y qui annulent R. Soit p une de ces valeurs; R est divisible par j^ — p. Si pour ^'= p les deux fonctions /et o ont un plus grand commun diviseur de degré 5 ou n — r, on voit (§ 54, I, III) que tous les mineurs de R, à /• -H I lignes, sont divisibles par y — p, tandis que Rr ne l'est pas. Il en résulte, d'après le théorème de Sylvester [§ 32, (7)] que R lui-même est divisible par {y — P)*; il peut d'ailleurs arriver que R soit divisible par une puissance àey — jî d'exposant plus élevé. Chaque diviseur commun à / et y, de degré 5, absorbe donc au moins s racines de R = o; on déduit de là le théorème\de Bézout, sous la forme géométrique suivante :

I. Deux courbes d'ordres net m^ n ayant pas départie commune, se coupent en mn points au plus.