II. Soit S un système d'équations

entre les inconnues x, y, z, Le nombre des équations et

celui des inconnues sont quelconques et ne sont pas nécessairement égaux. On demande de déterminer toutes les valeurs des inconnues qui satisfont à ce système d^équations, ou bien de démontrer qù!il n^ existe pas de telles valeurs.

Lorsque les équations ne renferment qu'une seule inconnue, il suffit de chercher si les fonctions /i, /a? /s» • • • oi^t ^^ diviseur commun ; on trouve les valeurs cherchées en égalant ce diviseur à zéro; et l'on est ainsi ramené à la résolution d'une équation algébrique à une inconnue.

Nous supposerons maintenant le problème résolu, lorsque les inconnues sont en nombre moindre que celles données, et nous démontrerons le théorème par le procédé induclif.

Si une seule des équations données, par exemple /"i = o, contient l'inconnue x, portons dans cette équation un des systèmes de valeurs de^, :;,... qui satisfont aux équations restantes, et que Ton sait déterminer, par hypothèse. Il peut alors se présenter trois cas :

I** f% est identiquement nul; il correspond alors à ce système de valeurs de j^, 5, ... une infinité de valeurs pour x]

2° /i ne coDlîent plus x^ maïs n'est pas nul ; il n'existe pas de valeur de x correspondant au système des valeurs de j^, -3, ... ;

3° /i devient un polynôme algébrique en x\ on trouve alors pour X un nombre limité de valeurs.

Le problème général se ramène maintenant à ce cas particulier de la manière suivante :

Choisissons dans le système deux équations contenant toutes deux l'inconnue x

f = a^x"^ -+- aia:"-* -h. . .-r- «rt,

les coefficients des puissances de :r étant des fonctions de j^, z^ .... Ces fonctions devront avoir un plus grand commun diviseur en x du premier, second, troisième, . . . degré. Les conditions pour qu'il en soit ainsi, s'écrivent (§ o4) sous forme d'équalions rationnelles entre y, z, . . ., et le plus grand commun diviseur de / et de o se présente sous la forme d'une fonction rationnelle de

x^ y^ 5, Le système S est alors ramené à un autre S|, qui

peut contenir, à la vérité, plus d'équations que le système S, mais dans lequel l'inconnue x entre dans une équation de moins que dans le système S.

Remarquons qu'il faudra considérer les différents systèmes S| obtenus en faisant différentes hypothèses sur le degré du diviseur commun à y et cp ; il faut aussi avoir égard à ce fait que a^, et b^ peuvent devenir nuls, à moins qu'on ne préfère exclure ce cas, en faisant dans toutes les équations S une substitution linéaire par laquelle le coefficient de la plus haute puissance de x dans ces différentes équations devient constant.

On y parvient, par exemple, en posant

y=^x-^aLyu 5 = a?-f-p^j,

a, p, . . . étant des constantes différentes de zéro.

Si, dans le cours des calculs, on rencontre des équations qui ont un diviseur commun rationnel, on devra décomposer ces équations, ce qui ramène le système donné à d'autres systèmes plus simples de même espèce.

Il peut aussi arriver que, parmi les systèmes successifs, il y en ait un dont toutes les équations ont un diviseur commun. Si ce

CUAPITRB lY. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. I99

diviseur contient plusieurs inconnues, il en résulte une infinité de solutions du système considéré; on les obtient en attribuant des valeurs arbitraires à toutes les inconnues moins une. D'où :

III. Le problème II peut donc toujours être résolu par le procédé indiqué^ par la résolution d^ une suite d^ équations algébriques à une seule inconnue y à condition d^ attribuer parfois des valeurs arbitraires à certaines des inconnues.

§ 56. — Élimination entre trois équations.

Les principes de Télimination, exposés dans ce qui précède pour le cas de deux équations, peuvent s'étendre au cas de plusieurs équations à plusieurs inconnues.

Nous allons examiner d'une façon plus particulière le cas de trois équations à deux inconnues.

Soient

les trois équations données, de degrés respectifs /?, /??, /; soient

et

(3) ak = «A-'o J'* -+- «am7*-' h- ... -h cik^k.

Nous emploierons des notations analogues pour les fonctions '^ et t}/, de telle sorte qu'on ait, par exemple,

j <]/ —Cf^xf -hciir'-' -+-...-f-c/,

Formons d'abord (§ S4) le résultant R,i des fonctions / et ©. En supposant R«i différent de o, la racine commune à/et «p est

"rt-1

Portant cette valeur dans ^{x^y)^ il vient

Le second membre de celle formule esl une fonclion enlîcr dej^, donl il n'est pas nécessaire de déterminer le degré |x d'une façon plus précise. On peut d'ailleurs l'abaisser à l'aide des équations (27) du § 54; il est inutile de s'y arrêter.

Ordonnons l'équation (6) par rapport à^ et posons

Il importe seulement de remarquer que les coefficients Co,C|, ..., C(i sont des fonctions entières des coefficients a et 6 et des fonctions linéaires des coefficients c.

Supposons, d'autre part, le résultant R/, ordonné par rapport h y; il s'écrit

( 8 ) R/i = Aoj''»" -h Aijr'««-» -h ... 4- Xntn ;

les coefficients A/ sont des fonctions entières des coefficients a ei b seulement.

Formons enfin le résultant [W, R,|] des deux fonctions (7) et (8). Ce résultant est une fonction entière des coefficients ai^ bi, Ci, homogène par rapport à chacune de ces quantités; son degré par rapport à a/ et 6/ n'est pas connu pour le moment; son degré par rapport aux coefficients C, et, par suite aussi, aux coefficients c, est égal à mn [§ 53].

Mettons en facteur, dans la fonction [Wy R„], tous les facteurs indépendants de c; soit B leur produit, et posons

(9) [iF,R«] = Bû,

U ne contenant plus aucun facteur indépendant des coefficients C|.

1. La fonction rationnelle et entière des coefficients ai^ bi^ Ci,, déterminée par cette équation à un facteur numérique près, de degré mn par rapport aux coefficients Ci^ s^ appelle le résultant des trois fonctions f, o, ^.

Remarquons d'abord que le facteur B ne peut être nul, si le résultant A des fonctions R,, et R/,i ne l'est pas. Lorsqu'en eflel [^*, R;,] est nul, les équations ^^= o et R,; = o ont une solution commune en >'. A n'étant pas nul, R„ ne peut être identiquement nul, et R//i ne peut être nul pour celte valeur de y\ les deux