CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES

équations /= o et <p = o ont donc une solution commune en x de la forme (5) ; celte solution annule aussi la fonction •}.

Si ce fait se produit parce que le facteur B, indépendant des coefficients c/, se réduit à zéro, on voit que [^', R^] est nul, quelles que soient les valeurs attribuées aux coefficients r/; on peut donc les choisir de façon que 4* = ^ n'ait pas de solution commune avec y = o et co = o, conclusion contradictoire avec ce qui précède.

Il en résulte que :

II. Si les coefficients ai, bi^ a ont des valeurs telles que ù soit nul, sans que A le soit, les trois équations f ^=^ o, 'f =o, 4 = 0 ont une solution commune.

Et réciproquement :

III. Si les trois équations f=o, ^ = 0, tj; = o ont une solution commune, si en outre A est différent de zéro, Q est nul.

Il n'est pas facile de s'affranchir, par des considérations purement algébriques, de l'hypothèse inutile A ^ o. On y arrive plus simplement par la considération de la continuité.

Supposons que les trois équations (1) aient une solution commune X, y, que A soit nul, mais que Q soit différent de zéro : on pjut alors faire subir aux coefficients a/, 6/ des variations très petites, telles que A prenne une valeur différente de zéro. En considérant x^ y comme une solution du système formé pary= o et 0 = 0, ces quantités ^ont déterminées par des équations algébriques, dont les coefficients dépendent rationnellement de ai et 6/; les variations de ces valeurs sont donc aussi petites qu'on le voudra, à condition de faire varier convenablement les coefficients ai et bi (§ 44); soient x' et y' leurs nouvelles valeurs. Mais alors on peut faire varier les coefficients c/ de telle sorte que 4(xy) soit de nouveau nul, et les variations de ces coefficients sont aussi petites qu'on le voudra. On peut donc finalement supposer toutes les variations assez petites, pour que Û ne soit pas nul; il en résulte une contradiction avec le théorème III.

On montre d'une façon analogue que, même si û et A sont nuls à la fois, les trois équations (i) ont une solution commune.

Si /et o ont un diviseur commun, ce diviseur aura une racine commune avec ^, et il en sera de même pour/ et y.

Si/et C3 n'ont pas de diviseur commun, il n'existe qu'un nombre limité de systèmes de valeurs de :r et y annulant à la fois / et ©. Supposons que, pour aucun de ces systèmes, i(j^,^) ne soit nul. Faisons varier les coefficients a/, 6|, c/ de telle sorte que toutes ces quantités ^(^,J»') restent différentes de zéro, que A devienne différent de zéro, mais que Q reste nul. Nous sommes alors en contradiction avec II.

Il en résulte que :

IV. Pour que les trois équations /= o, <p = o, «^ = o aient une solution commune, il faut et il suj/ît que Û = o.

Il importe de remarquer, qu'afin d'éviter les longueurs dans les démonstrations, nous n'avons pas insisté sur la nécessité de considérer les valeurs infinies de x et de y, si l'on veut que les théorèmes II et III soient vrais d'une façon générale; cela revient à prendre les équations (i) sous la forme homogène

et à admeUre les solutions pour lesquelles z est nul.

§ 57. — Degré et poids du résultant. — Théorème de Bézout.

On se rend mieux compte de la nature du résultant Q de trois équations, en considérant un cas particulier, celui où les trois fonctions/, «p, i se décomposent en facteurs linéaires.

Supposons donc que l'on ait

'l' = JJCït ^ ^- TÎ 7 -^ Ï3 )»