CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES

les coefficients a, p, v étant des variables indépendantes. Ce cas résulte du cas général, en remplaçant a, 6, c par certaines fonctions homogènes a', &', c' des coefficients a, j3, y; les coefficients a sont du degré n par rapport aux a; les b du degré m par rapport aux p; les c du degré / par rapport aux y. Remplacer a, 6, c par ces fonctions rt', 6', c', c'est faire la substitution S.

Soient/', çp', A', û' ce que deviennent les fonctions/, îp, i, û, quand on fait cette substitution 8. Pour que les fonctions/', ©', 'V aient une solution commune, il faut et il suffit que Tun des déterminants

(•^) A,„,,,-= p', pî P'3

1 ït Ti Ta-

soit nul. Le nombre de ces déterminants est égal à Inin. Il s'ensuit que û' est divisible par chacun de ces déterminants, donc aussi par leur produit. Nous allons en conclure celte proposition importante :

I. Le résultant û, considéré comme fonction de a, fr, r, est irréductible.

Soit, en effet, Q« un diviseur de Q, rationnel par rapport à a^ 6, c; soit ù\ ce que devient û| par la substitution S. Q', sera donc divisible par l'un au moins des déterminants ^h^i,k' Lorsqu'on remplace les indices A, t , k par trois autres quelconques A', i', A', les fonctions a', 6', c' et, par suite, Û', ne changent pas. Il en résulte que Çt\ est divisible par chacun des déterminants (2), donc aussi par leur produit. Comme ce produit est du degré m/i, par rapport aux quantités c', Q| ne peut être d'un degré inférieur par rapport aux quantités c. Comme il ne saurait être d*un degré supérieur et que, d'autre part, Q| n'a aucun diviseur indépendant des quantités e, Û| est identique à Û, à un facteur numérique près.

Ces considérations prouvent en même temps que Q^ est au moins de degré ml et ni par rapport aux quantités a' et 6'; il en est donc de même de Q par rapport aux quantités a et b.

Si maintenant nous répétons tout ce qui vient d'être dit, dans ce paragraphe et le précédent, avec cette seule différence que nous remplaçons /par if tl a par c, nous trouvons, au lieu de Û,

une cerlaine fonclion Ûy-, qui est du degré ml par rapporl aux quantités a. D'après le théorème IV (§ S6), ûy s'annule en même temps que û; donc ûy est divisible par la fonction irréductible Û (§ 43, 2). 11 en résulie que Q est au plus du degré ml par rap- })ort aux coefficients a. En répétant ce raisonnement une troisième fois, on démontre finalement la proposition suivante :

IL Le résultant û de trois fonctions à deux variables^ de degrés respectifs /?, /w, l, est du degré ml par rapport aux coefficients de la première, du degré In par rapport à ceux de la seconde, du degré mn par rapport à ceux de la troisième.

On en conclut que la fonction U' est égale au produit des déterminants (a)

(3) a'=nAA,/,A-.

Cette formule permet de déterminer le poids de la fonction Q. A cet effet, on attribue aux coefficients ah^ht bk.k-i Ca,a le poids/; /, cp, vj> deviennent alors [§ 53, (a), (3)] des fonctions homogènes de degrés respectifs /i, /;î, /, lorsqu'on remplace les coefficients par des fonctions homogènes de nouvelles variables, le degré de chaque fonction étant égal au poids du coefficient qu'elle remplace.

On obtient le poids des coefficients ^J, x, ^Â,*? ^m ^^ attribuant dans les formules (i) aux coefficients a<» a2, pi, ^2? Yo Ta le poids o, mais à as, ^3, ^3 le poids' i. Le poids de Aa,i,* est alors égal à i ; celui de Q! à hnn. C'est aussi le poids de Û, car la substitution S ne peut changer le poids.

On peut donner à ce théorème la forme suivante, sous laquelle il contient le théorème de Bézout.

IlL JJ élimination de deux inconnues entre trois équations de degrés respectifs n, m, /, conduit à une équation résultante de degré Imn,

Pour en conclure (comme au § 00, 1), ce théorème de Géométrie, que trois surfaces de degrés /, w, n, qui n'ont pas une infinité de points communs, se coupent au plus en Imn points, il faudrait encore montrer que, si à la même valeur z^ de z corres-

CHAPITBB IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. ao5

pondent v systèmes de valeurs de x et y^ l'équation finale est divisible par (;j — ^o)^.

Cette démonstration ne se ferait pas sans longueurs par une méthode purement algébrique. Il est avantageux d'employer encore ici des considérations de continuité; nous allons les indiquer en peu de mots, sous forme géométrique.

Supposons que, pour une valeur z^^z^^ les trois surfaces/, 9, 'i^ aient v points communs. Faisons tourner le système des trois surfaces, sans changer leurs formes ni leurs positions respectives, dHin angle infiniment petit autour d'un axe situé dans le plan ;; == ^0, et qui ne soit parallèle à aucune des lignes de jonction des V points d'intersection situés dans ce plan. Après la rotation, les z de ces points sont tous différents ; soient Zy , z^^ . . . , .?v leurs valeurs. Cette rotation s'exprime analytiquement par certaines variations infiniment petites des coefficients a^ 6, c des fonctions/, f , h. Après la rotation, û(^) est devenue û'; Q! est divisible par (5 — 5|)(s — z^ ... (3 — 5v); comme d'ailleurs la rotation est aussi petite qu'on le veut, on en conclut (§ 44) que û(5) est divisible par (2 — z^y.

Revenons encore ici sur la formation de l'éciuation finale relative à deux équations homogènes à trois inconnues, c'est-à-dire sur la détermination des points d'intersection de deux courbes. Soient

les équations de ces courbes, de degrés respectifs /i et m; soient a/ et bi leurs coefficients.

On trouve l'équation finale sous une forme symétrique, en adjoignant à ces deux équations une équation linéaire

( 5 ) iix -h iy^ -+- wz -=■ o,

à coefficients indéterminés w, r, iv, et en éliminant x^y^ z entre les trois équations (5) et (6). On obtient ainsi, d'après (2), une équation finale

(6) û(ii, v, w) = o,

qui est homogène et de degré mn par rapport à «, r, \v. Elle est du degré m par rapport aux coefficients a et du degré n par rap-

206 LIVRE I. — LBS PRINCIPES.

port aux coefficients b. Si, dans cette équation, on fait w = o, r=:i, iv = — y, ;; = i, on retombe sur la première forme de Féquation finale.

La fonction Û s^annule, lorsque les équations (4) et (5) ont une solution commune, c'est-à-dire chaque fois que la droite, représentée par (5), passe par un des points d'intersection des courbes (4). Si donc M, r, w représentent des coordonnées tangentielles homogènes, l'équation Û = o représente, au point de vue de la Géométrie analytique, le système des points d'intersection des courbes /et '^ (*).

La fonction I2(w, r, (v), considérée comme fonction des variables a, bj Uj r, iv est irréductible; mais, pour chaque système de valeurs des coefficients a et 6, qui ne la rendent pas identiquement nulle, elle contient des facteurs linéaires par rapport à i/, i*, iv'j s\ X, y^ z sont les coordonnées d'un des points d'intersection, elle contient le facteur ux '\- \>y -\- wz. S'il existe donc mn points d'intersection distincts, Û(2/,p,(v) se décompose en mn facteurs linéaires.

On peut conclure de là, par àesf considérations de continuité, que, même dans le cas général, la fonction Û se décompose en mn facteurs linéaires, si elle n'est pas identiquement nulle.

Pour le montrer, appelons P« (^i,^«, 5|), ^^{^i^yi'i ^2)7 ••• 'es points d'intersection des courbes /et ©. On peut faire subir aux coefficients a el b des variations infiniment petites, telles que le résultant ait/n/z racines distinctes; les nouvelles courbes/', co' ont alors mn points de rencontre distincts. Parmi ces points, v^ sont infiniment voisins de P< ; soit P'^ leur ensemble; v^ seront infiniment voisins de Pj ; soit P'^ leur ensemble, etc.; on aura

vj -h vj -}- . . . = mn.

Soit alors

le facteur de û(«, v, \v) correspondant à P^, de telle sorte que

(*) Celte représentation da résultant se trouve, pour le cas de trois surfaces du second degré, dans Hessb, Géométrie analytique de V espace (Leipzig, Teubaer, 1" édil., 1861; 3- édit., 1876).

CHAPITRB IT. — PONCTIONS SYMÉTRIQUES. 207

La iraasformallon des coefiicienls a et 6 transforme û en Û'; cette expression contiendra lesv< facteurs U^, U*, . . . correspondant aux points P'^ ; on aura

û', admettant encore les facteurs U*....

Si û| n'était plus divisible par Ui, on pourrait disposer des quantités u^ ^, ^, de telle sorte que U| fût nul et û| différent de zéro.

Les variations des coefficients étant aussi petites qu'on le veut, Û', diffère de û| aussi peu qu'on le voudra; on pourrait alors trouver un système de valeurs de m, ^, w telles que U' fût nul, et û'^ différent de zéro : évidemment impossible, puisque û'^ est divisible par U^. Il faut donc que Û| soit divisible par U| . En répétant un nombre convenable de fois ce raisonnement, on trouve que û est divisible par U^'.

On trouve ainsi le théorème de Bczout sous la forme suivante, plus précise :

IV. Le résultant û(w, r, iv) des deux courbes f et © peut être identiquement nul, et alors les deux courbes ont une infinité de points communs; s'il n^en est pas ainsi, cette fonction U se décompose en mn facteurs linéaires, pouvant être égaux entre eux; chacun de ces facteurs égalé à zéro, est Inéquation tangentielle d^un des points d^ intersection des deux courbes.

Cette manière de formuler le théorème de Bézout indique en même temps avec quel degré de multiplicité il faut compter chacun des points d'intersection des deux courbes.

On reconnaît aisément que ces raisonnements sont susceptibles d'être généralisés pour le cas d'un plus grand nombre d'équations renfermant le même nombre d'inconnues que précédemment. Par exemple, le cas suivant à considérer serait celui de trois équations

ayant une solution commune; il faudrait en déduire pour ^ et j^ des expressions rationnelles en fonction des coefficients de/*, ^^ '}. Nous n'insisterons pas sur ce sujet.

208 LIYRB I. — LES PRINCIPES.

§ 58. — Transformation de Tschimliausen.

La Iransformalion des équations algébriques, indiquée par Tschirnhausen (*), constitue une application très importante de la théorie des fonctions symétriques et de la formation des résultants.

Soit

une fonction du degré /i, et

une fonction rationnelle, entière ou fractionnaire, de x\ nous ferons sur elle la seule hypothèse que les fonctions /(j;) et le dénominateur •i/(^) n'ont pas de diviseur commun. D'après le théorème final du § 6, on peut alors déterminer deux fonctions F(x) et 'f(^), la dernière du degré n — i au plus, telle qu'on ait l'identité

11 en résulte que, si Ton remplace x par une racine de Téquation f{x) = o, on a

Comme, d'autre part, nous ne considérons que les seules valeurs dej^, correspondant aux racines de l'équation y(j7) = o, nous ne restreindrons pas la généralité du raisonnement, en remplaçant l'équation (2) par

en observant que 'f (x) est du degré n — 1 . Soit donc (5) y— ^{x) — xo^- 2t|a?-+- «137* -h. . .-h ««-la?"-',

les coefficients a/ étant, pour le moment, indéterminés.

( ' ) Acta eruditorum, Leipzig, i683.