CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Désignons par

(6) xi, arj, ..., Xfg

les racines de /{x) = o; les valeurs correspondantes de y seront

(7) ^i = ?(^i)» r» = ?(^î)» •••» 7« = ?(^«)- Le produit

(8) *(j') = (j'-ri)(r-rt)--(^-r«)

est une /onction symétrique des quantités (6), qui, par suite, s* exprime rationnellement en fonction des coefficients de/{x).

Supposons que, représenté de cette manière, ^{y) ait la forme

Les coefficients 6v se déterminent à Taide des quantités j^/, an mojen des formules (§ 7),

ài=—^yu 6i=2^«^«' ^3 =-"2

riri^3

il en résulte que 6v ^^^ une fonction rationnelle, homogène et du degré v, des quantités a/.

^{y) n'est pas autre chose que le résultant des deux équations

(lo) /(a:) = o, (p(a?)— ^ = 0.

Lorsque^ prend l'une des valeurs ^1,^2? •••j^/o les équations (10) ont une racine commune; si elles n*en ont qu'une seule, on pourra l'exprimer rationnellement à l'aide des coefficieots des équations (10), c'est-à-dire rationnellement en fonction des quantités a/, a/, y.

Ce cas se présente lorsque les n valeurs j^i, ^2j •••^yn sont diOerentes. On obtient alors une expression de la forme

dans laquelle x est une des valeurs (6) et j^ la valeur correspondante (7). Les quantités ^/ sont formées rationnellement avec les coefficients ai et a/.

Si, au contraire, plusieurs des valeurs j^ijj^a, ""^yn sont égales, la détermination des valeurs correspondantes de x dépend de la W. 14

résolution d'une équation de degré supérieur au premier. Ce degré est toujours plus petit que n\ car la fonction ne peut prendre la même valeur y que pour n — i valeurs de x au plus. Si donc Téquation

(il) 4>(^) = o

est entièrement résolue, il en sera de même de Péquation (i), en supposant que l'équation (i i) n'ait que des racines distinctes; ou, du moins, elle sera ramenée à la résolution d'équations de degré moindre, si l'équation (i i) a des racines égales.

D'après cela, on peut considérer l'équation (ii) comme une transformée de l'équation (i); former cette équation (ii), c'est appliquer à l'équation (i) la transformation de Tschirnhausen.

Cette transformation a pour but de choisir les coefficients a/ de telle sorte que ^{y) ait une forme plus simple que/(j:). On saura formre les coefficients b^ quand on connaîtra les sommes des puissances semblables des quantités j^/ (§ 46).

Soit Sm la somme des /n*®"" puissances des quantités xi^ <t„i la somme analogue des puissances des quantités j^/,

on pourra déduire les sommes <Tm des sommes Sm de la manière suivante.

Développons d'abord la m**"* puissance du polynôme j^, suivant la formule uu § 12; posons donc

C»2).r -^ n(ve) n(vo . .. n(v«o °^o «i • • • ««-i^ «

la sommet] s'étend à toutes les valeurs entières, non négatives, de Vo, Vi, . • ., Vfl<, qui vérifient la relation

(i3) Vo -+- vi -h, . .-f- v„i = m.

Remplaçons, dans la formule (la), la variables; successivement par Xi, X2, • - • 7 Xm ; faisons la somme des valeurs ainsi obtenues

yT^yT^ --^r^; ii vient

(14) <'... = 2é [I(v.)U(v.)...nK-.) *v.«v.-....^„ -, v„-, «.•».'... a,V.-