CHAPITRE lY. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES
o-OT est donc une fonction entière, homogène, d'ordre m, des coefficients tto, a, , . . . , a„i .
On obtient une écriture un peu plus simple en employant la seconde manière de représenler les formes (§ 15). Supposons que les quantités ijL|, [jl2, • » » y [f^m prennent, indépendamment les unes des autres, les valeurs o, i, 2, . . . , /i — 1 ; que l'indice o se présente Vq fois, l'indice 1 un nombre de fois égal à v<, l'indice V/i i un nombre de fois égal à /î — i ; il vient alors
et
L'expression de o-m s'écrit alors
On aura, par exemple,
A, /, Ar prenant la série des valeurs o, i, 2, . . . , (n — i).
§ 59. — Application aux équations du troisième et du quatrième
degré.
La transformation de Tschirnhausen a pour but de faire disparaître, dans l'équation transformée 4>(j^) = o, assez de coefficients pour que cette équation devienne résoluble; on se sert pour cela de l'indétermination des coefficients ai, a2, . . ., a„| de l'équation de substitution. Ce procédé réussit pour les équations du troisième et du quatrième degrés; pourtant il n'est pas facile d'établir, sans de longs calculs, les formules connues.
Considérons d'abord l'équation
(1) x^-r~ asc^-^ bx -h c = o'^
21 a LIYBE I. — LRS PBIlfCIPES.
nous la transformerons à Taide de la substitution
(2) y = a-h ^x-hyx*.
Pour ramener Téquation transformée
(3) j^» -+- A^« -h Bj^ -+- C = o
à la forme d'une équation binôme^ il faut déterminer les rapports mutuels des coefficients a, ^7 y à Taide des équations
La première est linéaire, Tautre est du second degré. Ces équations (4) sont équivalentes à
(5) ff| = o, ffj = o.
Elles s'écrivent donc, d'après les formules (16) du paragraphe précédent,
OLSo ■+■ p5i ■+- Y*î = O,
a'5o -+- 20L^Si -h 2aY*iH- ?''i-H 2Py*3 -♦-y*'* = ®'
So est d'ailleurs égal à 3. Multipliant les deux membres de la dernière par 5o, et retranchant membre à membre de la première élevée au carrée, il vient
(6) P*(*o*i — *î) ^-^PyC^oJj — «l*l)^-Y*(*o*^ — «î) = o. Le discriminant de cette équation du second degré est
et s'écrit
Il est donc égal à — 3D, en désignant par D le discriminant de l'équation du troisième degré [§ 50, (9)]. L'équation (6) donne alors
L'équation (3) devient, dans ces conditions, une équation binôme, dont la résolution n'exige plus que Texlraction d'une racine cubique. On peut d'ailleurs choisir arbitrairement le signe devant le radical dans la formule (7).
