CHAPITRE lY. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. 2ïo

Pour appliquer la transformation de Tschirnhausen à l'équalion du quatrième degré, on choisit les coefficients ao, «i, a^, «3 de façon que, dans Féquation transformée

(8) yk ^ b^yi ^ b^jri ^ b^-y -^ b,, = 0,

on ait

(9) ôi = o, 63=0.

L^équation (8) devient alors une équation du second degré en^^; les équations (9) une fois résolues, il faudra donc encore extraire deux racines carrées.

Si, à Taide de la première des équations (g), on élimine ao de la seconde, on trouve une équation homogène du troisième degré entre ai, 0L2, aj. On peut donc prendre arbitrairement Pun des rapports mutuels de ces trois quantités, poser, par exemple, as = o. L'autre rapport est alors déterminé par une équation du troisième degré.

La résolution de Téquation du quatrième degré est ainsi ramenée à celle d'une équation du troisième degré et à l'extraction de racines carrées.

§ 60* — Application de la transformation de Tsohirnhausen

à l'équation du cinquième degré.

Pour appliquer à l'équation du cinquième degré

(1) X* -^ atx^ -h a^x^ -^a^x^-ha-^x -h ai = o la transformation de Tschirnhausen, on pose

(2) jr = oLo -h ai X -^ oi%x*-^ a^x* -^ a^x^] on obtient ainsi une transformée de la forme

(3) yi^bijr^-hbijri^bzy^-^b^y-hbi =0.

La première idée consisterait à déterminer les rapports des inconnues, de telle sorte que l'on ait

2l4 LITRE I.— LES PRINCIPES.

l'équation (3) deviendrait alors une équation binôme ; c'était probablement le but que Tschirnhausen avait en vue. Mais ces quatre équations sont respectivement du premier, deuxième, troisième et quatrième degré. L'équation finale, qu'on peut en déduire, sera donc (§ 57, III) du degré 2.3.4 = 24; on ne peut donc en tirer aucun profit pour la résolution de l'équation du cinquième degré. On commence donc par chercher à satisfaire aux équations

(5) ^i = o, bt = o;

on donne ainsi à l'équation (3) une forme qui s'appelle, d'après M. F. Klein (Leçons sur ricosaèdre)^ une forme normale de l'équation du cinquième degré.

Pour vérifier les équations (5), nous disposons des quatre rapports des cinq quantités ao, ai, a^, a3, a^ ; il y aura bien des manières de les utiliser pour simplifier l'équation du cinquième degré.

Nous reviendrons sur ce sujet dans un autre Chapitre, avec plus de détails, et nous nous bornons pour le moment à indiquer le but à atteindre. Pour plus de clarté, nous donnerons à nos considérations une forme géométrique, qui d'ailleurs est loin d'être essentielle pour l'intelligence de la théorie algébrique.

Supposons qu'à l'aide de l'équation linéaire 6, = o nous exprimions l'une des cinq quantités, ao par exemple, en fonction des quatre autres. On pourra alors considérer ai, a2, as, ol^ comme les coordonnées homogènes d'un point de l'espace. L'équation 63 = 0 représente une surface du second ordre; b^ = 0, 64 = o, 65 = o des surfaces qui sont respectivement du troisième, quatrième, cinquième ordre. Si donc on voulait que 62, 63, 64 fussent nuls à la fois, afin de ramener l'équation (3) à la forme d'une équation binôme, il faudrait déterminer Tun des vingt-quatre points d'intersection de trois surfaces des deuxième, troisième, quatrième ordres ; et ce problème dépend d'une équation du vingt-quatrième degré.

Au lieu de procéder ainsi, on cherche à déterminer une gêné* ratrice rectiligne de la surface b^ = o. On sait que, sur chaque quadrique, il existe deux systèmes de ces génératrices (réelles ou imaginaires); on sait déterminer l'une d'entre elles à l'aide d'extraction de racines carrées. La détermination du point d'intersection de cette droite et de la surface 63 = o conduit à une équation