CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

veut, à condition de remplacer par o les coefficients a d^ndices supérieurs à /i, et les coefficients b d'indices supérieurs à m.

§ 4. — Division par une fonction linéaire.

Appliquons le procédé général de la division au cas particulier suivant. Soit

un dividende quelconque; mais supposons le diviseur du premier degré, ou, comme on dit, linéaire. Nous supposerons le coefficient de x^ dans ce diviseur, égal à i ; nous le prendrons donc sous la forme simple x — a, a étant quelconque. Le quotient Q est dans ce cas du degré n — i, et le reste C est du degré zéro, c'est-à-dire indépendant de x. Si donc on pose

(2) /(x) = (ar-a)Q-f-G,

C ne contient plus x\ en posant

(3) Q = q^X^-"^ -H yia?»-* -+-...-+- qn-\X -h qn-u

il vient, d'après (2),

\ —aq^iX'^ — . . .—(iqn-zx^—%qn--rx — tiqn-\ \

par suite, en identifiant avec (i),

q\ — «yi =«2»

^/i-|— ^qn-\ = «/i-l,

\ c — «5^/1-1 = fl/i.

On en conclut

y rt-i = ^0 a'»-» -^ ai ««-* -f- . . . -h a„-i ,

G =aoa'* -hûia'*-» -h...-i- a^ =/(a).

34 UTRE 1. — LES pu5ara5.

C s*obtient en remplaçaDl dans f^X) la variable x par z: on peut donc le représenter par /"<' a).

On conclut de là aussi la formule

Q ^x) étant une fonction entière du degré n — i.

Mettons j: à la place de a dans les expressions (6) : on engendre ainsi une suite de fonctions rationnelles et entières de x\ si, pour simplifier, nous supposons ^0 = 1, nous pourrons les écrire

Nous aurons l'occasion plus tard de tirer un bon parti de ces fonctions.

Ajoutons pour le moment les remarques suivantes.

Les formules (8) permettent d'exprimer les différentes puissances de Xj

linéairement au moyen des fonctionayoî/i) •• -ifn^i^ et cela de telle manière que dans les coefficients on ne trouve que des expressions rationnelles et entières, par rapport aux coefficients a/. C'est ainsi que

xî=/,— a,/i-^(aî— rt5)/o,

Il en résulte que toute fonction rationnelle et entière de .r, dont le degré est au plus égal an — i , peut aussi s'exprimer linéairement à l'aide de/o>/i j • • •? fn-\y et peut se mettre sous la forme

dans cette expression, les coefficients yi sont indépendants de x.