CHAPITRE y. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

se iransforme en une fonction analogue

avec la condition

(3) a'k^^ai^^;.

Considérons m de ces fonctions linéaires

^v=^a/,vjr/ (V = 1, 2, ..., m).

On en déduit m fonctions transformées

Les déterminants des deux systèmes de formes j^v? y'^t sont

et sont liés par la relation

(4) A'-rA,

d'après la règle de multiplication des déterminants; A et A' sont donc nuls ou différents de zéro en même temps.

§ 62. — Formes quadratiques.

Un intérêt tout particulier s'attache à la transformation des fonctions homogènes du second ordre, dites formes quadratiques. Nous les représenterons, comme dans le premier Chapitre,

par la notation

La substitution (i) du § 61 remplace la forme ^ par la forme

ai8 LIVRB I. — LES PRINCIPES.

En mettant j; + i à la place de x^ et x'+ ^' à la place de j/, les variables ^' dépendront des variables Ç, comme les j/ des x\ si donc on pose pour abréger

il vient, en comparant les ternies du premier degré [§18,(i2),(i3)],

(3) 2^""" ==2^^"^' d^où, comme dans la formule (3) du § 61 ,

(4) "1 =S«/' "/• D'autre part, on a

la formule (4) définît donc la transformation de m fonctions linéaires. Les coefficienls du système transformé sont cij^f^] on obtient ceux du système primitif en remplaçant dans Téquation (4) les quantités par leurs valeurs tirées de (5), ce qui donne

(6) bk,h =^*i ^Ui- Le déterminant du premier système est

d'après la formule (4) du § 61, il vaut

mais, d'après l'équation (6), le déterminant des coefficients bk^h vaut lui-même

Si donc, nous posons

(7) H =^=t ai,ias,s. . .dm.w,