CHAPITRE T. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES. aiQ
nous trouvons la proposition importante
Le déterminant H s'appelle le déterminant ou discriminant de la forme ç(^). Une transformation linéaire a pour seul effet de multiplier le déterminant par r^; si le déterminant de la première forme est différent de zéro, il en est de même de celui de la seconde.
La condition H = o exprime que la fonction ^{x) peut être considérée comme une fonction de moins de m variables qui sont des fonctions linéaires des variables primitives x.
En premier lieu, si une substitution linéaire transforme ^{x) en une fonction ^{x')^ indépendante de l'une des variables x\ dex', , par exemple, H' sera nul; car les éléments d'une de ses lignes (ou colonnes) sont tous nuls; donc, par suite de l'équation (8), H est aussi nul.
En second lieu, H est le déterminant du système des équations linéaires
Si ce déterminant est nul, il existe (§ 27, th. IV) un système de quantités
qui ne sont pas toutes nulles, et qui satisfont aux équations (9). D'autre part, si xi et x\ sont deux systèmes de grandeurs, et X une grandeur arbitraire, on a les identités
(11) ç)(a?-h Xar') = <p(ar) -f- X^ar/ç^.. -h X«<p(a?'),
[§ 18, formules (12) à (i5)]. Si donc on remplace le système x'i par le système x?, on trouve
(12) <p(ir/-f- Xa??) = çp(a7).
Le premier membre est donc indépendant de X. Supposons x\
différent de zéro, el posons
Xk
il vient alors
yt =ar,arj
— J^ia?;,
yi =x^x\
y m ~3C,nX\
(^î)*?(^) = ?(o»rn r»i • • • » rm).
ç(x) n'est donc fonction que des m — i variables ^2, ^3, ...,>'
§ 63. — Décomposition des formes quadratiques
en sommes de carrés.
Nous allons faire une application importante du théorème, démontré en dernier lieu, au discriminant de la fonction (i i), considérée comme fonction du second degré en X; on ne suppose plus que ce discriminant soit nul. Il a pour expression
Remplaçons xt par ^/-l-Xx^.; mettons, au lieu de cp(j?-|-Xj:'), l'expression (11) du §62, et 25p(;r') au lieu de S:r|:p|p.; il vient alors
11 en résulte que ^(^) ne dépend que de /w — i combinaisons linéaires des m variables. Remplaçons x\^ x.^^ . . ., x'^^ par des valeurs particulières qui n'annulent pas ç(^')î supposons x\^o\ il vient alors
C'est donc une fonction des m — i variables
^, =r Xi X\ — X\ Xx y
y m — Xfn X I — Xffi Xi .
