CHAPITRE V. — TRANSPORHATIONS LINÉAIRES
On peut le constater aussi, en remarquant que les dérivées ^'x ) ^jr,> • ••? ^'x^ s'annulent quand on y donne à Xt, j?2» • • •> ^m les valeurs ûc\, x^^ . . ., j?^; le déterminant de la fonction ^ doit donc aussi s'annuler.
La formule (i) nous fait connaître un résultat très important, qu'une autre forme donnée à la formule met facilement en évidence.
Posons
il vient alors
(3) ?(^) = Yî-+-x(rî»r8, ...,r/«)-
9(0?) se trouve mis sous forme de la somme du carré d'une fonction linéaire Y| et d'une forme quadratique -j^ de m — i variables. D'où ce théorème important :
Une forme quadratique de m variables peut toujours être mise sous forme d'une somme de carrés de m fonctions linéaires au plus.
Ce théorème est évident pour une forme quadratique à une variable, qui est, par définition, un carré parfait. La formule (3) prouve que le théorème est encore vrai pour une forme à m variables, quand on le suppose vrai pour une forme km — i variables. Il est donc général.
Les formules (2) montrent que la décomposition en carrés peut se faire d'une infinité de manières; car ces formules renferment les quantités arbitraires x'.
On ne peut obtenir moins de m carrés, que si le discriminant de la fonction <f est nul.
Dans la formule (3), Y| s'obtient par l'extraction d'une racine carrée; il en résulte que Y| peut être réel ou imaginaire, même si les coefficients de <p ont des valeurs réelles, ainsi que les variables X et a:'.
Si l'on met iY^ à la place de Y<, lorsque cette dernière quaiilité est imaginaire, le théorème prend alors la forme suivante :
Une forme quadratique réelle à m variables peut être de-
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composée en une somme d'au plus m carrés positifs ou négatifs, de fonctions linéaires et réelles des variables ^ (* ).
La Géométrie analytique permet de donner une forme concrète à ces considérations. Si le discriminant de la forme f est nul et si la forme çp renferme trois variables, la conique cp = o dégénère en un système de droites; dans le cas de quatre variables, la quadrique cp = o devient un cône. La fonction ^, introduite dans Téquation (i), égalée à o, représente le cône de sommet ocf circonscrit à la surface cp = o.
§ 64. — Loi d'inertie des formes quadratiques.
Au sujet de la décomposition en carrés des formes quadratiques, Sylvester a démontré le théorème suivant, auquel il a donné le nom de loi d'inertie des formes quadratiques {PhiL Magaz,, i852).
Quel que soit le mode de décomposition d'une forme quadratique en carrés de fonctions linéaires, le nombre des car-rés positifs et celui des carrés négatifs^ et, par suite, leur nombre total, est toujours le même, pourvu que ces fonctions linéaires soient indépendantes.
La démonstration de ce théorème important est très simple. Soient
j cp(x> = Yî-H Yj -r-. . .-h Yî - y;« - y;« -. . .- y;?,
\ ^^ Là^ -+- Ia^ -4- . • -r- LiH, -— Zî| — £d^ — • • I ■— /«M»
deux décompositions en carrés indépendants de la même fonc-
er) Pour la théorie générale des transformations linéaires des formes du second ordre, consulter les recherches de Jacobi et de Hesse (Hesse, Leçons sur la Géométrie analytique de l'espace, 3* édition, publiée et augmentée de Notes par Gundelfinger, Leipzig, 1876), et tout particulièrement les Traraux deWeierstrass et de Kronecker {Monatsberichte de l'Académie de Berlinj 1868; 1874). Une revue historique détaillée de la question se trouve dans le Compte rendu de rétat actuel de la théorie des invariants, par Franz Meyer {Premier Compte rendu annuel de l'Assemblée des Mathématiciens allemands, Berlin, 1892, et Bulletin des Sciences mathématiques f 1895).
