CHAPITRE T. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES. 'laS
lion ç(^). Par hypothèse, Y|, Yo, . . ., Yv, Y^, . . ., Yy sont des fonctions linéaires et homogènes des variables, qui ne vérifient aucune relation linéaire à coefficients constants, et, par suite, telles que v -+- v'^m; les mêmes hypothèses seront faites sur les fonctions Z, donc [l-\- [x'5m.
Supposons V < [JL. On pourra alors trouver des valeurs des variables X satisfaisant aux équations
( Y, = o, Yi = o, . . . , Yv = o,
dont le nombre v + [x' est plus petit que m.
Si maintenant toutes les fonctions Zi , Z^, ..., Z^ étaient linéairement dépendantes des fonctions Y«, Y2, . .., Yy, Zj, Z,, ..., la^y on pourrait éliminer entre ces [x équations les v variables Y|, Y2, . . ., Yy, et, par suite, établir ainsi une relation linéaire entre les fonctions Z, laquelle ne peut exister par hypothèse. Il en résulte que les équations (2) n'entraînent pas nécessairement la condition que toutes les fonctions Z soient nulles. On peut donc joindre à ces équations (2) une autre équation non homogène, par exemple,
Nous avons alors pour les m inconnues Xi un système de m ou d'un nombre moindre d'équations qui sont indépendantes et, par suite, compatibles (§ 29, V).
Mais alors la première des décompositions (i) donne pour f (x) une valeur négative ou nulle, tandis que la seconde donne certainement une valeur positive. Ces résultats contradictoires montrent qu'on ne peut supposer v < [x, et, par suite, on a v^ [x. On montrerait de même qu'il faut que [jl^v. Il faut donc nécessairement que [JL = v; de même, on ferait voir que [jl' = v', ce qui démontre complètement notre théorème.
§ 65. — Transformation des formes d'ordre n.
Supposons qu'on effectue la substitution (i) du § 61 sur une forme F(x) du degré n par rapport à m variables ^<, X2, ..., Xm]
224 LIVRE I. — LKS PRINCIPES.
soil ^(:r') la forme transformée. Simultanément la fonction linéaire des variables Çi, $2» •••) S/n
sera transformée, par la même subslitution, supposée faite sur les h, en
Cela résulte de ce que ces deux expressions représentent toutes les deux le coefficient de t dans le développement de
par rapport aux puissances de / (§ 18). De même, la forme quadratique
ik
se transforme en
^S/UFî-.jfc
lA
S^iî**^}'-.-
Appliquons le premier résultat à un système de m formes F{ (x), Fzix), . .., ¥m{x)i de degrés quelconques, et désignons par A le déterminant
Fi,jr, Fl,jr-, . . . Fi^r„
Ft,j-, Fî.j-, . . • Fj.j
m.jr
fm
Soit de même A' le déterminant correspondant, formé à Faide des fonctions transformées $i, ^29 • • •; ^m', d'après la formule (4) du § 61, nous aurons, en désignant par r le déterminant de la substitution,
(5) A' = rA.
A s'appelle le déterminant fonctionnel des m fonctions F,, F> F
De même, puisque la fonction (4) est la transformée de la
GHAPITRB Y. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRKS.
fonctioQ (3), si l'on désigne par H le déterminant
Kl
Fl-,.r, .
F'Lr,
" ^kr„.
ï^'jm^l
FiwTi •
et par H' le déterminant analogue pour la fonction ^, on aura
H s'appelle le hessien (*) de la fonction F. Dans les formules (5) et (6), r est le déterminant de la substitution.
Des formules (a), (3), (6) il résulte en outre que, si l'on fait la substitution indiquée à la fois sur les variables \ et les variables x^ la fonction
se transforme en
k Fl-..rt
25i«**--^^«2«iS.
\ étant un nombre arbitraire. Si donc on considère le système des n -i- I variables Ç|, Ça, . . ., $,„, \ on peut transformer ce système par la substitution (i) à laquelle on adjoint l'équation
le déterminant de cette nouvelle substitution est
cette substitution transforine la forme quadratique (7) en la
( ' ) D*après le géomètre Hcssc. II a souvent employé ce déterminant et en a montré Timportance dans ses recherches géométriques, en particulier dans la ibéorie des courbes du troisième ordre et dans les problèmes relatifs à l'élimination.
