LIVRE I

forme (8). AppliquoQS à cette forme l'équation (8) du § 62; appelons C le hessien de la forme (7)

Fî-.x, .

Fî-,r.

Fx|

Fj,j^

Fâ«.r, .

• Hjr„

on aura

C ayant, pour la fonction transformée O, la même signification que C pour la forme F. On obtient une relation analogue en remplaçant dans la formule (9) les dérivées H^. par F^.; le déterminant (9) devient alors le produit HF, et Ton n'obtient pas de résultat nouveau.

§ 66. — Invariants et covariants.

Lorsqu'on transforme linéairement des fonctions homogènes, il se présente toujours certaines fonctions des coefficients, qui se reproduisent, multipliées par une puissance du déterminant de la substitution, quand on y remplace les coefficients de la forme donnée par ceux de la forme transformée. 11 en est de même quand on transforme simultanément plusieurs formes; les fonctions dépendent alors des coefficients de toutes les formes du système. Comme exemple, on peut citer le déterminant d'un système de m formes linéaires, le déterminant d'une forme quadratique.

Ces fonctions s'appellent des invariants de la forme, ou, dans le cas de plusieurs formes, des invariants simultanés du système des formes.

Soit donc l(a) une fonction des coefficients a de la forme F(a:) ; l(a') la même fonction des coefficients de la forme transformée ^{x'), T(a) est dit un invariant, si on a l'identité