CHAPITRE V. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

X sera dit le poids de Tinvariant; si cet exposant est nul, I(a)est un invariant absolu,

La plupart du temps, on ne considère que des invariants rationnels et entiers, c'est-à-dire des fonctions I, rationnelles, homogènes et entières par rapport aux coefficients a. De même, les invariants simultanés seront supposés homogènes par rapport aux coedGcients de chacune des formes dont ils dépendent.

Il existe encore d'autres fonctions qui contiennent simultanément les coefficients et les variables , mais possèdent aussi la propriété d'invariance. En désignant par C(x, a) une telle fonction, on a

Ces fonctions s'appellent des covariants de la forme F (a:). Le déterminant fonctionnel est un covariant simultané de m formes ; le hessien d'une fonction de degré supérieur au second est un covariant de cette fonction unique. On prend aussi de préférence les covariants sous forme de fonctions rationnelles, entières et homogènes des variables.

Soit m le nombre des variables, n le degré de la fonction F(a:), V et p. les degrés de la fonction G (or, a) par rapport aux variables et aux coefficients ; ces nombres vérifient la relation

(3) /i jjL = m\ H- V.

On le démontre en comparant les degrés des deux membres de l'équation (2) par rapport aux coefficients de la substitution. Les coefficients a' sont, en effet, du degré n par rapport à ces coefficients; r est du degré /?i, les variables x sont du premier degré; on en conclut de suite la formule (3). La formule correspondante pour les invariants s*obtient en faisant v = o; en général, d'ailleurs, les invariants peuvent être considérés comme un cas particulier des covariants.

Nous allons dire quelques mots d'une loi générale pour la formation des invariants et des coVariants; nous nous en sommes déjà servi dans les cas particuliers, traités au § 65.

Ordonnons, par rapport aux puissances de t^ la fonction

2a8 LIVRE I. — LES PRINCIPES.

[§ 18, (4)] ; le coefficient de ^ est

avec la condition

«1 -h ai -4- . . . -+- dm = V.

Si nous effectuons la transformation linéaire (i) du §61, simultanément sur les variables x et Ç, la fonction Fv(^, \) devient ^v(^'> i')i cette quantité se déduit de Fy, en remplaçant simultanément x^ Ç, a par x\ $', a', et F par <ï>. Donc :

I. Si Von considère Fv(:r, Ç) comme une forme du degré v par rapport aux variables Ç, et si Von forme un invariant dt* cette forme ^ lequel contient, par conséquent, encore les variables x^ on obtient un covariant de la forme F.

Comme les variables x el\ sont soumises à la même transformation, on a de même le théorème suivant :

IL Si Conforme un covariant de la fonction ¥^{x^ Ç) considérée comme fonction des variables Ç, et si l'on y remplace ces dernières par les variables x, on obtient un covariant de la forme F(x).

Les mêmes théorèmes sont vrais pour les invarian ts et covarian (s simultanés.

On sait que la fonction Y^[x^ Ç) vérifie Téquation

(5) Fv(ar,0 = F»-v(Ç,^);

cette équation s'obtient en égalant les coefficients des mêmes puissances de t dans les deux membres de Tidentité

Les fonctions

p (t n- n(v).n(/i— v) ^"^'^»^^- îûTT^ ^^i^A)

sont dites les polaires de la fonction F(^); Py est la polaire