CHAPITRE T. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

d'ordre v. Elles vérifient aussi l'équation On a multiplié par le facteur constant

afin que la fonction Py ait des coefficients aussi simples que possible, quand la fonction F est écrite avec les coefficients du développement de la puissance d'un polynôme.

Ces définitions seront surtout appliquées dans la suite à la forme binaire /(^, y) ; les polaires ont alors les expressions suivantes :

et, en général,

n(n — I) . . . (.n — V -+- I) Pv(a-, 0 = $^

dy^

Si Von forme des covariant$ d'un système de covariants d'une forme F, on voit immédiatement qu'on forme ainsi des covariants de la première forme F.

Prenons, par exemple, le cas de trois variables; formons le déterminant fonctionnel des trois fonctions F, H, C, considérées au § 65; on obtient ainsi le nouveau covariant de la forme F :

Fr. H^r. a.,

Fx, Hx, Ci-, Fx, Hx, C;c,

dont le poids est égal à 9 et qui vérifie la condition

23o LIVRE I. — LES PRINCIPES.

§ 67. — Transformation linéaire des formes binaires. Soît

(i) /(^) = «0^" -+- «i^?""* -H a,a?«-* -+-....-*- an

une fonclion rationnelle et entière de degré n. Pour la transformer en une forme binaire, il suffit de remplacer x par - et de multiplier par j^", ce qui donne

(2) /(^yy) = «0^" ■+■ a^x'^-'^y -4- atx'^-^y^ -h. . .-*- a»^'*.

En supposant connues les racines de /(^), on sait décomposer f{x) en un produit de n facteurs linéaires

(3) /(a7) = ao(jr — ai)(a7 — aj) ... (ar — «„); on en conclut

( 4) /(^,r ) = «o(a? — (t-iy) {x — a,7) ... (3? — dny)'

Si l'on remplace de même a^, oL^t • • -9 ^/i p^i* d^s rapports tels

OC] tf] (Xn,

en posant

«0 = APipj .. . Pa.

Gomme nous allons souvent rencontrer dans la suite les facteurs de f{Xyy)y nous les désignerons, pour abréger, par la notation

(6) ^Pi— r^i = (^Pi)-

De même nous poserons

(7) (^i7î —yi^i) = (^irî)»

formule dans laquelle JC^^y^ et X2^y2 sont deux couples quelconques des variables.

Lorsque nous emploierons le mode de représentation non liomo-

TT-'i on trouve