CHAPITRE y. — TRAN8F0RUATI0NS LINÉAIRES

gène, nous poserons encore plus brièvement

(8) ( ^'-"*i ^(<^»^^» ^ — «« = (0,2), ..., (ar — a„) = (o,/i), ( ati — a, = (1,2), ..., (a/ — «a) =(t, A:).

Faisons dans la forme (2) la substitution linéaire

dont le déterminant

(10) r = ao — Py

n'est pas nul; la forme f{x^j) se transforme alors en une autre forme d'ordre /i, F(a:',y'); nous poserons

I^s coeilGcients ajj, a'^, . . ., a), de la forme transformée sont des fonctions linéaires et homogènes de ceux de la forme donnée, et des fonctions homogènes de degré n par rapport aux coefficients a, p, y, 8 de la substitution. En posant, par exemple, ^'= o et y = I, ou 0:^= i Qiy=: o, on trouve

Les autres coefficients a' peuvent s'exprimer à l'aide des dérivées de la fonction/; c'est ainsi que

Nous ne pousserons pas ces calculs plus loin.

Si nous appliquons la transformation (9) simultanément aux couples des variables x^y^ ayt et ^a, nous transformons les facteurs linéaires de^, et l'on aura

(i3) (^'Pi) = r(^PA),

ainsi qu'on le reconnaît en employant la règle de multiplication des déterminants ou, plus simplement, par un calcul direct. Ces facteurs {x^k) sont donc aussi des covariants de la fonction f{Xfy); seulement ils sont irrationnels, ne pouvant s'exprimer rationnellement en fonction. des coefficients de la forme /(Xy y). On trouve de même

(t4) io^h?k) = r(a^h)'

q32 livre I. — LES PRINCIPES.

Les déterminants tels que (a^ ^a) sont donc à considérer comme des invariants irrationnels. Nous allons maintenant expliquer comment on peut s'en servir pour en déduire des invariants cl des covariants rationnels.

Considérons, à ' cet effet, la transformation linéaire sous sa forme non homogène

et appliquons-la à la fonction f{x) prise sous la forme (i). En posant

on en tire

(i6) ¥{x') r= (Y^'-H hy^fix).

Cette même équation peut aussi s'écrire

(Il . \

ao -t- a, - -h a, — -h. . .-4- a« — ^ .

Faisons x^ , et, par suite, x infini; on en conclut

aor« = (-Y)«F^- -)

Si Ton suppose que a'^, a'^, . . ., a^^ dépendent de a,, aj, • . ., a« comme x' de x, on peut écrire

F(rr') = ai(^'-a',)(a7'-a;)...(^'-a;); on en conclut

(17) ao/-'» = ai(Ya; -^^){^(i\ -+-S') ... (Ya^-f-S).

D'autre part, en appliquant la formule (i5), il vient

rCaJ — ai)

OLj — 7.Jc = /- ; w- ; r- •

(Ya,-H5)(Y«i-hS)

Formons maintenant un produit P à l'aide des facteurs