CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

Soit maintenant F{x) une fonction quelconque rationnelle et entière; en prenant /(a:) pour diviseur, on pourra poser (§3).

(lo) F(x)= Q/(a?)H-^o/o-+-7i/i H-...-+-r/i-i/«-i»

Q étant aussi une fonction rationnelle et entière de x,

La formule récurrente qui permet le calcul de f^{x) est, diaprés (8),

(il) /v(^) — ^/v-l(^) = «v

§ 5. — Fonctions fractionnaires. — Divisibilité.

En désignant par F(:r) et f{x) deux fonctions rationnelles et

entières de x. on dit que la fonction ^) , est une fonction ra-

tionnelle fractionnaire de r ; pour abréger on l'appelle simplement yrac/£0/ï/ia/re ou rationnelle.

Lorsque le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur on l'appelle xxne fraction proprement dite.

D'après le § 3 on sait déterminer deux fonctions entières Q et çp(x), telles que

(I) F(x) = Q/(2^)-^-cp(:^),

le degré de ^{x) étant inférieur à celui de/(j:); on en conclut

d'où ce théorème :

Toute fonction fractionnaire peut être mise sous forme de la somme d'une fonction entière et d' une fraction proprement dite,

f(x) étant de degré n, cp(^) est au plus de degré n — i ; son degré peut d'ailleurs être inférieur k n — i ; il peut même arriver que ^{x) soit identiquement nul.

On dit alors que F(;r) est divisible par ^{x).

Dans ce cas la fonction -j^z n'a que l'apparence d'une fonc-

lion fractionnaire : elle est en réalité égale à la fonction entière Q.

L'égalité

est un exemple simple de ce cas. C'est la formule bien connue de la somme de la progression géométrique i -^x-^x^ -4- . . . -+- x"^~^ . La divisibilité des fonctions est régie par les mêmes lois que celle des nombres entiers. En particulier, on peut énoncer les propriétés suivantes :

1. Si ^{x) est divisible par /(x), /(x) par ç(^), F{^) est a ussi dwisib le par ^{x).

En effet, de F :rr= Qy, z= ycp, on conclut F = Qycp. Qçr étant une fonction rationnelle entière, F est divisible par '^.

IL F(j?) étant divisible par 'f{x) et Q étant une /onction quelconque rationnelle et entière, QF(^) est aussi divisible par (f{x).

IIL F(x) et /(x) étant divisibles par o{x), il en est de même

deF{x)±/{x).

Et d'une façon plus générale :

IV. F|, Fa, . . . étant divisibles par /(x); Qi, Qa, . . . étant des /onctions rationnelles et entières, la /onction

est aussi divisible par /(x).

En effet, puisque F|, F2, . . . sont divisibles pary(:r:), on peut

déterminer des fonctions rationnelles et entières 4>«, <ï>2, ... de

façon que

il en résuhe

QiFi -f. Q,F, -^. . . = (*iQ, -h. . .-i- *nQ«)/;

Q^F^ -+-Q2F2-+-- •• <^tant une fonction entière, le théorème est démontré.