CHAPITRE y. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

de telle sorte que chacun des nombres i, 2, . . ., /i se présente un même nombre de fois, [x fois, par exemple. L'indice o, la variable Xj se présentera, par exemple, v fois; soit enfin q le nombre total des facteurs. Chaque facteur contenant deux indices, on aura alors

(19) ^ -\-n\L = iq.

Si donc on appelle P' le produit qui se déduit de P par la permutation des \ariables x et a,- avec x' et a], on conclut de (17) et (18) l'équation

{20) a>. P' rrr ag". r>*V-'<i {-( x' -^ 8)vp.

Formons enfin la quantité

la sommation étant étendue à toutes les quantités déduites de P par la permutation des indices i, 2, . .. , n de toutes les manières possibles. Cette somme est une fonction symétrique des racines de l'équation (i); par suite, on peut la mettre sous forme d'une

fonction rationnelle et entière des rapports — »— , •••>—> de

telle sorte que l'ordre d'aucun de ses termes ne soit supérieur à [JL. La fonction C(^,^, a) est alors une fonction rationnelle et entière par rapport à «oj <^o • • • » ^/o d'ordre u, et une fonction entière et homogène des variables x et y^ d'ordre v. D'après les équations (19) et (20), elle vérifie Téquation

(23) X=/l(JL — Çj 2X = /l(JL — V.

C'est donc un covariant de la forme considérée; siv^^o, c'est un invariant.

Comme /ijji est supérieur ou égal à v, on voit que le poids A est positif ou nul. Le cas limite /1[jl = v ou X r^ o, ne se présente que lorsque dans P les indices 1,2, . . . , /i se trouvent combinés chacun avec l'indice o, et non autrement. P est alors une puissance def{x).

LIYBE I.

§ 68. — Formes binaires du troisième degré.

Une forme binaire quadratique (ou du second degré) ne donne pas d^aulre formation invariante que son discriminant. Nous laisserons donc ces formes de côté et passons tout de suite aux formes du troisième degré ou cubiques.

Soit

f{^yy) = ao^' -^ ci\^^y -i- CLixy^ H- a^y^

une telle forme. Comme premier covariant quadratique, nous formerons le hessien. Nous convenons, une fois pour toutes, d'écrire les formes en donnant à leurs coefficients numériques la forme de nombres entiers premiers entre eux. On pourra alors supprimer le facteur 4 dans le déterminant formé avec les dérivées secondes, et nous trouvons, comme premier covariant,

3ooX aiX

ou bien

en posant

<l\X Cl\X

aty

H = Aoar'-H Ai^:^ -+- Aj^^,

Ao A,

Oaoas — ai a,, Za\a^ — a*.

Le discriminant de la forme quadratique (2) est un invariant de la forme cubique (i). Tous ses coefficients numériques ont en commun le facteur 3 ; nous poserons, par suite,

3D = 4AoA, — AJ;

la quantité D n'est alors autre chose que \q- discriminant de la forme cubique [§ 50, (10)]

D = aja* -h iSaoajajas — 4^0^^ — 4ûtJ<23 — i'ja^a\.

On obtient un autre covariant du troisième degré en formant le