CHAPITRE V. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
déterminant fonctionnel de f{x^y) et H(:r,^), c'est-à-dire la quantité
(6) Q(a;,j.)=/iH;-/;H;;
c'est-à-dire
3aoa?* -h aaiir^ -+- a^y^ iK^x -¥- Kiy aix^ -^la^xy -^^a^y^ k^x -\-7.Kiy
dont les coefficients numériques sont premiers entre eux. Voici les valeurs des coefficients des termes en x^^ ^^y^ ^y^y y^ > leur calcul n'ofire aucune difficulté :
l'jo^az — 9aoaiat-f-aaJ, i-ja^axa^ — i^a^a\ -f-3ajai,
— 27 «0 ^j ût3 -h 1 8 ajaj — Za\a\y
— 2yao(il -H gaïUiaz — 2aJ.
Les modifications que subissent H, D, Q par une transformation linéaire résultent des équations (a) et (3) du § 66. En appelant H^, D', Q' les quantités analogues pour la forme transformée, on a
On peut se servir des covariants pour ramener la forme cubique à uqe forme normale, qui donne la solution de l'équation du troisième degré.
Nous prendrons comme forme normale
s et 7^ étant des fonctions linéaires de oc et y. Ainsi qu'on va le voir, on peut toujours ramener la forme générale à cette forme normale, tant que D n'est pas nul, c'est-à-dire tant que l'équation du troisième degré n'a pas de racines égales. Les solutions de l'équation /= o sont alors celles des équations
Ç -h 7j = O, $^-Êr) = o, Ç-he^T. =0,
e étant une racine cubique imaginaire de Tunité*
Calculons les formes H', D', Q' relatives à la forme (9) ; il suf-
fira de faire aj, = ag = i , a\ r^ a^ = o; on trouve ainsi
La forme (9) étant supposée déduite de la forme générale à Taide d'une transformation linéaire, il vient, d'après (8),
ç» -H Ti» =/.
On conclut de ces équations
»7 -..-'-IQ^./, ar.»^-^:!^
en tirant de la première équation
et portant dans les autres, on trouve
On en tire Ç et r| par l'extraction de deux racines cubiques, Tune d'elles étant déterminée par l'autre à l'aide de la première des équations (10).
Nos formules même montrent que, D étant différent de zéro, on peut toujours ramener la forme générale à la forme normale à l'aide d'une transformation linéaire; car, dans cette hypothèse, Il se décompose en deux facteurs linéaires différents ; si l'on prend ces facteurs, abstraction faite d'un multiplicateur constant, pour représenter $ et tj, on voit que Ai rrr Ai r^ o. D'ailleurs, les identités
3 «3 Ao -H ai A j = aj Aj , aj Aq -h 3 a^K^ — «i Ai
montrent que a'i et ai sont nuls, à condition que A| soit différent de zéro, condition toujours remplie quand D est différent de zéro ; donc la forme transformée ne contient que les cubes de S et de y\.
GBàPITRE V. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES. 287
Élevons au cube les deux membres de la première des équa> lions (10); éliminons $', tj', r* à l'aide de (i i) et de la deuxième des équations (lo)^ on est ainsi conduit à Tidenlité suivante entre les covariants
Pour effectuer la réduction à la forme normale, c'est-à-dire pour trouver les fonctions Ç et ti, on décompose la fonction H en ses facteurs linéaires, ce qui donne
i et y; ne diffèrent de ces deux facteurs que par un facteur constant. Posons donc, en appelant h et k ces deux facteurs,
( 2 J = h(iAoX -h kiy —y /— 3 D) ,
( 27) = A:(2 Aqo?-!- Aj^-Hj^/— 3D;.
Multipliant membre à membre, en ayant égard aux deux premières équations (lo), il vient
(i4) 3MAov/^=nï = i.
Portant ces valeurs de i et iq dans les équations (ii), et égalant les coefficients de ^', on trouve
jo étant le coefficient de x^ dans Q, c'est-à-dire (16) qa — 27aJ a, — ^a^axa^ -f- 2a}.
Pour vérifier enfin que le choix du signe de y — 3D dans les formules (i3) a été bien fait, il suffit de porter ces valeurs dans les formules (i i), en faisant le calcul pour le cas particulier où
la comparaison des équations (i i) et (i3) donne alors l'identité
(a^x — eaj^)' = aja?' — 36aJajX*j^ -+- 3t^aia^xy^ — oj^',
e étant une racine cubique imaginaire de l'unité.
§ 69. — Le système complet des invariants et covariants
de la forme cubique binaire.
Nous allons montrer que tous les invariants et covariants d^une forme cubique s'expriment rationnellement à Taide des quatre formes D,y, H, Q.
Soit, en effet,
un covariant du. degré v par rapport aux variables, du degré |x par rapport, aux coefficients ; nous supposerons que tous les coefficients numériques de cette forme sont entiers.
En effectuant sur la forme / une transformation linéaire, il vient[§66,(>),(3)]
(1) C'=C(?,i),a') = rXG(a:,^,a),
Supposons que Ç et Tj soient les variables de la forme normale considérée ci-dessus. En désignant par e une racine cubique imaginaire de Tunité, les formules
définissent une substitution linéaire, de déterminant égal à i, laquelle transforme donc la forme normale en elle-même. Il en résulte que C ne doit pas changer, quand on y remplace $ et ti par e$ et e^Tj ; donc C dépend rationnellement des quantités
La permutation de ^ et yj correspond à une substitution de déterminant — i; donc G conserve ou change son signe, suivant que X est pair ou impair. C'est donc une somme de termes de la forme
M est un facteur numérique entier (car les coefficients numériques de C et G sont supposés entiers); on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que X est pair ou impair.
