CHAPITRE V. — TRANSFORHATICmS LINÉAIRES

Dans ce dernier cas, l'expression est divisible par Ç^ — r,' ; le quotient est une fonction rationnelle à coefficients entiers de ç* -}- T|' et de $7^, car toute fonction symétrique de deux grandeurs peut être exprimée en fonction de leur somme et de leur produit. Si donc on désigne par x un nombre égal à zéro ou à i , selon que X est pair ou impair, on trouve que G peut se mettre sous la forme

les coefficients M sont des nombres entiers; a et p prennent des valeurs numériques entières qui vérifient la condition

Multiplions les deux membres de ( i ) par une puissance convenable de (3); à l'aide des formules (lo) du §68, exprimons Çtj, Ç' -h tj',

Çs — r,', à l'aide de H,/, Q; remplaçons r par D *, il viendra

(4) 3<JG = QTSMDTHa/^ formule dans laquelle

(5) 6y = X — 3t — lOL.

A chaque valeur de y correspond, d'après (5), une valeur déterminée de a, et d'après (3) une valeur déterminée de p. Inversement la valeur de a ou de ^ détermine les deux autres nombres, de telle sorte que chacun des exposants de H, D,y, dans la formule (4), ne se présente qu'une seule fois.

Les formules (2), (3), (5) montrent aisément que y est un nombre entier. En effet, par définition, X — 3t est un nombre pair, 3y est donc un nombre entier.

D'autre part, d'après (2) et (3),

donc ôy et, par suite, 3 y, est divisible par 3. Il en résulte que oest aussi un nombre entier.

On voit, comme il suit, que y est positif. Supposons que dans le second membre de (4) se trouvent des puissances négatives de D ; multiplions les deux membres de cette équation par une puis-

2^0 LIVRK I. — LES PRINCIPES.

sance de D suffisante pour que le second membre ne contienne pins la quantité D. Dans Téquation ainsi obtenue, faisons les hypothèses

(6) rto = o, ai = i, aj = o, «3 — 0; il vient

(7) D = o, H= — a?», /=x^y, Q = aar».

Le premier membre serait donc nul, tandis que le second ne le serait pas, ce qui est impossible. Donc, le second membre de (4) ne renferme pas de puissances négatives de D.

Enfin on peut encore démontrer que le premier membre de (4) ne peut renfermer aucune puissance de 3, qui ne se trouve aussi dans les facteurs M ; on peut donc la supprimer.

Nous avons démontré, au § 2, que le produit de deux fonctions primaires, rationnelles et entières, d'un nombre quelconque de variables, est encore une fonction primaire. On sait que nous avons désigné par ce nom toute fonction dont les coefficients sont des nombres entiers, premiers entre eux. Il s'agit donc de démontrer, dans le cas actuel, qu'une somme de la forme

Q^SMDYHV^

dans laquelle les M sont des entiers premiers entre eux, ne peut devenir non primaire et, en particulier, ne peut admettre le facteur 3, quand on remplace Q, D,H,y* par leurs expressions à Taide des coefficients a et des variables x et y. D'après le théorème rappelé, puisque Q est une fonction primaire, il suffît de démontrer la proposition pour la somme

(8) SMDYHV^.

Dans cette somme, nous pouvons laisser de côté les termes dont le facteur M est divisible par 3. D'après le même théorème, nous pouvons admettre que la somme des termes restants n'est pas divisible par D, qu'elle contient donc un terme au moins, dans lequel y est nul. Ces hypothèses faites, supposons que l'expression (8) développée admette le facteur 3; remplaçons les quantités par les valeurs particulières (6) et (7), c'est-à-dire faisons D = o, H = — x^,/= x^y\ l'expression se réduit alors au seul