CHAPITRE V. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

lerme ne contenant pas D, pour lequel on a y = o, 2a = X, c'està-dire à

Or, ce terme n'est pas divisible par 3, d'après les hypothèses faites ; on ne peut donc admettre que l'expression (8) développée soit divisible par 3.

On conclut de là le théorème suivant :

Tout coçariant à coefficients entiers de la forme cubique s^ exprime sous forme entière et rationnelle , à coefficients entiers^ à Vaide des quantités H, D, Q,/, sous Vune des formes

2 M DY HV^ Q 2 m DT h VP, les coefficients étant entiers.

Les invariants étant un cas particulier des covariants sont donc tous des puissances de D.

§ 70. — Formes du quatrième degré.

Considérons maintenant la forme du quatrième degré

Le hessien de cette forme est un covariant du quatrième ordre, qui s'écrit, après division par 3,

xia^x^-^^a^xy -^ria^y^ 3aiX^-h iatxy-\- Za^y^

ou bien

en posant

Ao = Saoûtf — 3ai , A^ = Sa^a^ — 3a,,

At = 24^0^9 — 4^1 A] t Aj = i^a^a^ — 4^t^s> Aj = 48^0^4 -+- 6»! Ui — 4^s*

On trouve, en outre, un covariant du sixième ordre

r^) T=Jj

Les invariants de la forme du quatrième degré (ou biquadratique) se forment le plus simplement à Taide des différences de W. 16

racines, d'après le procédé du § 67. On obtient ainsi deux invariants, Fan du second, l'autre du troisième degré par rapport aux coefficients :

(4) A = ia;[(i2)«(34)* + (i3)'(20«-^(i4)«(23)«],

(5) B = aj2(i2)«(34)»(i3)(42).

Posons

nos expressions s'écrivent alors

(7) I B = a;[U«(V-W)-^V«(\V-U)-f-W«(D-V)l ( =aJ(W-V)(V— U)(U— W).

Les formules nécessaires pour le calcul de ces quantités ont été développées au § 52. D'après les formules (lo) de ce paragraphe, on trouve

(8) U = P« — fv», V=fv« — a», W=a* — t»»,

en désignant par u^, ç^^, w^ les racines de la résolvante du troisième degré

(9) ^' -+- 2a«*-i-(a* — ic)z — 6* = o.

Les expressions de A et de B se déduisent maintenant de cette remarque que les trois quantités

!y^ = ao(V — W) = ao(a*-h('«-+-«'«— 3m«), ^, = ao(W— U) = ao(w*-hpS-+-«pï— 3(^î),

sont, par suite des équations (7) et (8), racines de l'équation du troisième degré

(11) ^3«3A^-hB =0.

L'équation (i i) se déduit donc de (9) par la substitution

^ = --ao(2a-h3.3);

il en résulte

A = aj(a*-+- i2c),

B = ^J ( 2a' — 72ac 4- 27 6* ).