CHAPITRE V. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

Nos invariants A et B sont donc idenliques aux quantités désignées par ces lettres au § 52. Si on les exprime en fonction des coefficients «o, a*, «2, «3, a^, on trouve

(12) A = aj — 3ai a3-}-iaao«fc»

(i3) B = 27ajav -+- l'^a^a^-^ aaj — 'jia^aïai^ — 9 ai a^ as.

Le discriminant de Téquation du quatrième degré est aussi un invariant; mais il dépend de A et B. C'est

(14) D=aJU*V»W«.

Nous Tavons déjà formé au § 52 et nous avons trouvé (i5) 27D = 4A» — B«.

D'après la formule du § 67,

on trouve, entre ces formations invariantes et les quantités analogues pour la forme transformée, les relations

(16) ir=r«H, T=r»T, A'=r^A, B'=r«B, D' = ri>D.

§ 71. — Résolution de réquation du quatrième degré.

Nous allons ramener la forme du quatrième degré à une forme normale, à l'aide d'une substitution linéaire de déterminant 1 ; nous supposerons, à cet effet, que la forme biquadratique a été décomposée en facteurs linéaires

Posons

il en résulte

a: — a^ = — y/a — pÇ, (^ — Y^ ) /«— P = ( P — Y> ? — (a — Y)*n,

f{x^ y) devient alors

(4) F(î,7)) = aU'T)^a;5«r,«-4-a;îV.

Les invariants de cette forme sont

!A'= A=a;« — 3a'ia',, B'=B = 2a;»-9a;a;a;, D' = D = a;« «;» a'; — \a'f a^ .

Les coeffîcients a\^ a,, a, s'expriment alors aisément en fonction de a, p, y, o, à l'aide des équations (3),

= ao(p~Y)(P-5).

j -3 = an (a— Y)(a — o),

Par permutation des racines, on pourra obtenir la forme normale (4) de six manières différentes; elles ne fourniront que trois valeurs distinctes pour a^. Posons, comme ci-dessus,

U-hV-+-W = o;

on trouve pour a[^ les trois valeurs ,

I a;=ao(V-W), (8) . a;=ao(W-U),

I < = ao(U— V).

Inversement, si l'on connaît les trois valeurs de a'^, aj, a, on pourra déterminer les quantités U, V, W à l'aide des formules

3ûro V =r a', — aj, 3aoW =«; — a;.

II en résulte que si deux des quantités à^^ a\y a^ sont égales, l'une des trois quantités U, V, W est nulle; par suite, deux des racines de l'équation du quatrième degré sont égales; son discriminant est donc nul.