CHAPITRE T. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

Posons encore

iap -+- Yo = M,

( a8 -+- Py = «' î on aura

ao{u-i- v-i- w) = flj,

U = V Wy

V = w — Uf

et, par conséquent,

I^OqU = Ui — a j , 3aoC = ai — aj, ^Uqw = aj — a j',

La connaissance des quantités a.^^ a![, a^ entraîne donc celle des quantités u, p, iv. Mais lorsqu'on connaît «, (^, tv, la résolution de Téquation du quatrième degré est ramenée à des extractions de racines carrées. En effet, on aura

a^ 4- YO = M, aoap.Y8 = «4; par suile

Comme on peut calculer de même les produits ay, ao, ^y, ^o, on pourra calculer a^ à l'aide de la formule

On a vu que «jj ^2> ^2 sont les racines de Téquation (12) a»— 3A5-^B=o.

C'est la forme la plus simple qu'on puisse donner à la résolvante cubique de l'équation du quatrième degré.

§ 72. — Les covariants.

Formons le covariant H [§ 70, (2)] pour la forme transformée

nous trouverons

Il en résulte

La quantité H -\- ^a'^f est donc, abstraction faite du facteur — 3, le carré d'une forme quadratique; cette propriété subsiste quand on remplace a'^ par a'^ ou a^. Posons donc, pour abréger,

I H + ia-i/^-m

Deux quelconques des Irois fonctions ^t, ^2j *^z ^^ peuvent avoir de diviseur commun, si Ton suppose le discriminant D différent de zéro. Dans cette hypothèse, en effet, les trois quantités «2, «*, a'I sont différentes. Si donc ^^ et ^2 étaient nuls pour un certain système de valeurs des variables, il en serait de même de H et de/; tout diviseur commun de J^i et 62 serait donc diviseur commun de H et de/. Mais Ç est un diviseur linéaire quelconque de /. D'après la formule (2), il ne peut être diviseur de H que si a'g est nul, condition qui exige D = o [§ 71, (5)], ce qui est en contradiction avec l'hypothèse.

D'autre part, le déterminant fonctionnel T de H et de/estle même que celui de /et de II -4- X/, quel que soit X. Si donc, on pose X = ia[^i il vient

T est donc divisible par ^< ; on montrerait par un raisonnement

analogue qu'il l'est par ^2 et J^g. Il en résulte que T est égal au

produit i^t '!^'2^z à un facteur constant près.

Multiplions membre à membre les trois équations (4): ayant

égard à l'équation du troisième degré (12) [§ 71], vérifiée par a'j,

a.,, «3, il vient

H» — 48AH/* — 64B/»=cT«,

c étant une constante indéterminée. D'après les équations (16) du § 70, c ne change pas quand on fait une transformation li-

GOAPITRB T. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES. 2^^

néaîre ; on trouvera donc sa valeur en parlant de la forme normale (i), et en égalant les coefficients des plus hautes puissances de i dans les deux membres ; on trouve ainsi c = — 27. Les invariants et les covariants vérifient donc l'identité

(5) H3 — 48An/2 — 64B/3 = — 27X2.

Les fonctions ti<, t[;2, ^z sont aussi des covariants,' mais contiennent des coefficients qui ne sont pas rationnels par rapport à ceux de/. On les exprime aisément à Taide des racines a, p, y, S de l'équation y = o. Faisons j/* = i pour simplifier; les équations (3) et (6) du § 71, donnent

yi — a, J;» — a, 7)» — ao ^ q

Les deux termes de la fraction sont divisibles par a — P; on peut donc mettre ^i sous deux formes diflerentes. Pour trouver ensuite 62 et ^3, il suffit de permuter circulairement les racines P, Y, S. On trouve de cette manière

=r(a-px^-a)(a?-T)-(«-Y)(a?-§)(a?-3).

i? =(p 8)(jr-a)(a.-fj-(a-Y)(a^-8)(»-P) = (y - o^)(ar — a)(a7 — p ) - (a - f;)(ar — o)(a: — y).

On peut considérer ^^^, 'S^l, ^l comme les racines d'une équation du troisième degré, ayant des covariants pour coefficients. Cette équation s'écrit

/ H-+-4^;/\/ HH-4aîA/ H^-4«'î/\

D'après l'équation (i a) du § 71 et l'expression (5) de T^, elle peut se mettre sous la forme

Il est intéressant de former le discriminant de cette équation. On Tobtient le plus simplement possible en calculant la quantité

Il suffît de remplacer les quantités tp par leurs valeurs (4) et de

remplacer le produit (a^ — ^lYi^^ — ^2)^(^2 — ^2)* P^'' ^^ ^'^" criminant de Téquation (12) du § 71. Ce dernier vaut

27(4A3 — Bî)=:^3«D,

D étant le discriminant de/. II vient finalement, comme valeur de A,

§ 73. — Système complet des invariants de la forme binaire

du quatrième degré.

Nous allons maintenant démontrer que tout invariant de la forme du quatrième ordre s'exprime à l'aide de A et de B. Généralement on se contente de démontrer que tout autre invariant est une fonction rationnelle et entière de A et de B; nous allons de plus nous occuper des coefficients numériques, comme nous Pavons fait déjà au § 69 pour les co variants de la forme cubique; un fait nouveau se présente alors.

L'invariant D, par exemple, s'exprime rationnellement en fonction de A et dç. B[§ 70, (i5)]. Mais les coefficients numériques ne sont pas entiers; ce sont des fractions, ayant 27 pour dénominateur, quoique les coefficients de la fonction D, supposée développée, soient tous des nombres entiers.

Nous appellerons donc invariants entiers des fonctions ralionnelles, entières, homogènes, de degré [x par rapport aux cinq variables ^0, a^^ a-ij a^, a^^

([) I(ao, ai, ai, 03, ai,) = l(a),

ayant pour coefficients des nombres entiers, et possédant la propriété invariante