CHAPITRE y. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

l'ouï (a') désignant la fonction des coefficients de la. fonction transformée, analogue à I.

De tels invariants sont, par exemple, les quantités A, B, D, lesquelles vérifient la relation identique

Nous nous proposons de démontrer que tout invariant entier est une fonction rationnelle, entière, à coefficients entiers des trois invariants A, B, D.

Si nous formons Tinvariant l' de la forme normale (4 ) du § 71, et si nous remarquons que r=i, il vient

Cette fonction ne peut dépendre que de a^ et du produit a\ a',. En eiTet, la substitution

dont le déterminant est égal à i , transforme la forme normale en elle-même, et laisse a^ invariable; elle change, au contraire, a\

et a'^ en 'k^a\ et yf^ ^ étant une quantité arbitraire.

Posons donc a.^ = z', il viendra

^ étant une fonction rationnelle, entière, à coefficients entiers,

des deux variables a\ a^ et z. D'après les équations (5) du § 71,

Sa'ja'j = z^ — A;

si donc nous multiplions les deux membres de (4) par une puissance convenable de 3, par exemple, 3^, on trouvera

(5) 3vI = ^;(A,^),

'} étant une fonction rationnelle, entière, à coefficients entiers de A et de z.

D'après l'équation (12) du § 71, on a, d'ailleurs,

25o LULftB 1. — LES PRINCIPES.

on peut donc faire disparaître de ^ toutes les puissances de z, supérieures à la seconde, et écrire

(6) 3vl = x(A,B,^),

y^ étant, par rapport à z^ du second degré au plus.

Mais le premier membre de (6) ne change pas quand on y remplace z par les trois valeurs différentes a'j, aj, «2 » '^ fonction y^ ne contient donc plus la variable ;; (§ 33, II).

On aura donc

(7) 3vI = x(A.B);

y étant une fonction rationnelle, entière, à coefficients entiers. Si, dans la formule (7), on fait la substitution

on trouve que (7) prend l'une des formes

'3vI = *(A,D) ou B*(A, D),

selon que le degré de I est pair ou impair.

Si la fonction I est primaire par rapport aux coefficients a, c'est-à-dire si ses coefficients numériques n'ont pas de diviseur commun, les coefficients de la fonction ^ ne peuvent avoir d'autre diviseur commun qu'une puissance de 3. Il nous reste donc à démontrer qu'ils sont tous divisibles par 3^, ou bien que, si nous supposons ^(A, D) fonction primaire, v est nécessairement nul.

La question est donc la suivante : si dans la fonction primaire ^(A, D) ou B^(A, D) on remplace A, B, D par leurs expressions en fonction des coefficients, les nouvelles fonctions peuventelles admettre le diviseur 3? B étant une fonction primaire, la fonction B^(A, D) ne peut admettre le diviseur 3, que si 3 est un diviseur de <^(A, D).

On est donc ramené à la question suivante : La fonction primaire ^(A, D) peut-elle admettre le diviseur 3, lorsqu'on remplace A et D par leurs valeurs en fonction des coefficients a?

Il est aisé de voir qu'il ne peut en être ainsi. Supprimons par la pensée dans ^(A, D) tous les termes dont les coefficients sont divisibles par 3; la fonction formée par les termes restants devra.