CHAPITRE V. — TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

(le même que ^(A, D), admettre le diviseur 3, après substitution des valeurs de A et D.

Nous pouvons aussi supposer que ^(A, D) n'est pas divisible par D ; car (§ 2) la suppression de ce facteur ne ferait pas disparaître la propriété.

Mais alors ^(A, D) devrait donner un nombre divisible par 3, si l'on supposait Aq = «1 = «3 = «4 = o et aa = I. On a alors D rrr o, A = I ; il faudrait donc que <[>(i , o) fût divisible par 3, ce qui est impossible, puisque le coefficient de la plus haute puissance de A dans ^(A, D) n'est pas divisible par 3 par hypothèse. Notre proposition est donc démontrée :

Tout invariant entier, de la forme binaire du quatrième ordre s^exprime en fonction rationnelle et entière à coefficients entiers des invariants A, B, D, sous Vune des deux

formes

Réciproquement, il est évident que toute expression de cette forme, homogène par rapport aux quantités a est un invariant entier (*).

(' ) La théorie des invariaots est exposée d'une façon détaillée dans les Ouvrages suivants :

Clebscu, Théorie des formes binaires algébriques ; Leipzig, 1872.

Faa di Bhuno, Introduction à la théorie des formes binaires, traduit par Walter; Leipzig, 1881.

P. GoRDAN, Leçons sur la théorie des invariants, rédigées par Kerschensleiner; Leipzig, i885.

Voir aussi ;

Franz Meyer, Compte rendu de l'état actuel de la théorie des invariants (Association des Mathématiciens allemands, 1890-1891; Berlin, 1892). En français dans Je Bulletin des Sciences mathématiques ; 1895.

Pour la dernière question traitée, voir H. Weber, Contribution à la théorie des invariants; Gôttinger Nachrichten, 1898.

25a LIVRE I. — LES PRINCIPES.