V. Toute fonction est divisible par elle-même

Au point de vue de la divisibilité des fonctions, rien n'est changé quand on multiplie Tune ou Tautre des fonctions par un facteur arbitraire, indépendant de x.

Une grandeur indépendante de x et différente de zéro peut être considérée comme une fonction de degré zéro. Appelons constante une telle grandeur. On peut dire alors que :

VF. Toute fonction est divisible par toute constante.

Une fonction étant divisible par une autre; le degré du quotient est égal au degré du dividende diminué de celui du diviseur. Le premier ne peut être plus petit que le dernier; si les deux degrés sont égaux, le quotient est une constante; il en résulte cette propriété :

VIT. Si deux fonctions rationnelles et entières de même degré sont divisibles l'une par Vautre^ elles ne diffèrent que par un facteur constant; on peut dire indifféremment que la première est divisible par la seconde ou la seconde par la première,

VIII. D'après le § 4 : La condition nécessaire et suffisante pour que f{x) soit divisible par x — a est que f{a) soit nul.

§ 6. — Plus grand commun diviseur.

C'est un problème d'une importance fondamentale que de rechercher si deux fonctions rationnelles et entières ont d'autres diviseurs communs que les constantes. On le résout au mo^^en de ^algorithme du plus grand commun diviseur; la marche est tout à fait analogue à celle que l'on suit dans le cas de deux nombres entiers {voir l'Introduction).

Soient (I) f(x) = A, (p(^) = A'

deux fonctions données, le degré de ^(x) étant inférieur ou au plus égal à celui def{x).

Divisons A par A', soit A" le reste; son degré est inférieur à

celui de A' ; on aura

divisons ensuite A' par A"; soit A'" le nouveau reste; en continuant ainsi, on forme une suite de fonctions

dont les degrés ai, /i', /i", n!'\ ... vont toujours en décroissant; après un nombre limité d'opérations, on aura donc un reste de degré zéro. Soit A^^^ le reste, qui est une constante. Nous pourrons écrire la suite d'équations

A^^^ étant une constante.

Le simple aspect de ces équations montre, par application des théorèmes du paragraphe précédent, que tout diviseur commun à A et A', est aussi diviseur de A", A'", . . ., A^^^

Si donc A^^^ est une constante différente de o, f{x) et ç(^) ne peuvent admettre aucun diviseur qui soit fonction de x. On dit que ces fonctions sont premières entre elles. On dit aussi que les fonctions n'admettent pas de diviseur commun, en n'ayant égard qu'à ceux qui sont fonctions de x.

La condition pour que les deux fonctions puissent admettre un diviseur commun est donc

(4) Aiv) = o.

La dernière des équations (3) montre alors que A^^"*^ est diviseur de A^^~2)j l'avant-dernière, que c'est un diviseur de A^^"*^, . . ., et finalement que c'est un diviseur de A et A', c'està-dire de/{x) et <f{x).

Comme inversement, tout diviseur commun de A et A' est aussi diviseur de A(^~*\ on dit que A^^*^ est le plus grand commun diviseur de/et cp. Les équations (3) montrent que A^^^ ou A^^"*^