CHAPITRE VI. — TRANSFORMATION DE TSGHIRNHAUSEN

et

fx{x) r=açtx -+-ai, (O { /j(^) =<aroa7« h- air -+- a»,

/„-i{x) = rto^"~*-+- «1^:'»-*-+-. ..-Han-i. Prenons pour substitution (2) celle indiquée parla formule

Les coefficients ti sont des indéterminées mises à la place des coefficients a et ne doivent pas être confondus avec les puissances de /. Mais V expression de y devient identique à (3) si Von remplace tkpQr t^.

Convenons, comme au § 46, que le signe S placé devant une fonction indique la sommation des valeurs de cette fonction par rapport à toutes les racines de Téquation (1)*, il vient alors

S[/o(^)] = nao, S[/i(a?)] -(/i — i)a,, (6) 1 S[/,(x}] =(,i~9.)a,,

et, par suile,

(7) S(^) = nao/A-i-h(/i — i)âfi/rt 5-h... H-2a«,^,-ha„|/o,

expression qui peut se déduire de /\t), à condition d'y remplacer l^ par tji' Éliminons ^/,i entre (7) et (5); il vient

(8) ^ - ^ S(^) = /,,îFo(jr) -i- /«8F,(ar) -h. . .-f- /oF/i-i(^),

en posant

! ^ >. 'ï — I «I ' Fo =/i ai = aox H ,

. Fi =/j ai = «0^* -+-aja:4-- j

I S[Fo(^)] =o,

(lo) '^^!i^"^Lr.';

Posons maintenant, d'après (3),

(II) F(/,:r)= fil^ -^Lf(t) = tn-iFo(x)-^...-\-tF,,^,(x)-^Fn^t(^):

on voit alors que le second membre de la formule (8) s'obtient en remplaçant dans F(^, a;) la quantité t^ par tk* En supposant a priori y de la forme .

(i2) y = Zrt-2 Fo(ar) + /«..i F, (a:) +. . . -f- /oF„,(ar),

l'équation

est une identité. Les considérations suivantes vont montrer l'utilité de cette forme de la substitution.

§ 75. — Propriété invariante de la transformation

de Tschirnhausen.

Transformons /(^) à l'aide d'une substitution linéaire et cherchons l'effet produit par cette opération sur la transformation de Tschirnhausen.

Soit

cette substitution; elle donne

(-) ?(0 = Crî + S)«/(^^);

©(i) est une fonction rationnelle et entière du degré n\ Téquation <p(Ç)=:o n'est autre que l'équation J(^x)=:o transformée par la substitution (i).