CHAPITRE TI. — TRANSFORMATION DE TSCHIRNHAUSEN

Formons maintenaiit une fonction $(t, Ç) à Taide de f (^), exactement comme nous avons formé F(^, x) à l'aide de /(x). Posons par suite

T est une variable analogue à /; les fonctions ^/(Ç) se forment à l'aide de Ç et des coefficients de <p(Ç), exactement comme les fonctions Fi{x) à Taide de x et des coefficients de /(x).

Si, d'autre part, nous faisons dans la fonction F(/, x) la substitution

simultanément avec la substitution (i), il vient

En prenant les dérivées des deux membres de (5) et se servant de la formule

on trouve

(7) r(Yx-4- 8)«-i ^/'(O = (r ■+- 5) ^ Ç'C-c) -T?('c)-

Des équations (5), (6), (7) on conclut ensuite

^(^■, ^ 8)»-' 1 /'«) = - , ^^'~,V^^1. + - ?'(^). eij en soustrayant les deux dernières membre à membre,

par conséquent,

(8) r(Yx 4- a)«-« F(r, ar) = *(t, ?),

OU, en écrivant la formule explicitement,

^^ I = r[{az H- p)'*-«Fo H- (ax -h P)''-»(yt 4- 8) Fi -h . . . -t- (y^ -I- S)«-*F„t].

Remplaçons maintenant dans F(t, x) les puissances ^* par les variables arbitraires Z^; de même remplaçons dans ^(t, Ç) les puissances T* par Ta, et posons

Les substitutions qui définissent la transformation de Tschimhausen s'écrivent alors [§ 74, (12)]

L'équation (9) est une identité par rapport à t; elle reste donc encore vraie, lorsque, après avoir développé les puissances, on y remplace T* par Ta; donc, les fonctions Y(^, x) et H(t, Ç) sont liées par la relation

(12) H(z,i) = rY{t,x),

à condition de lier les variables t aux variables t par les relations symboliques

( ^0 =(Yx-t-8)«-»;

après avoir développé les puissances figurant dans les seconds membres, on y remplace t* par ta.

Soit maintenant z une variable arbitraire; avant de développer les puissances, multiplions les deux membres des équations (i3) respectivement par

la somme des premiers membres est alors une fonction rationnelle de z du degré n — 2,

1 • jt