CHAPITRE VI. — TRANSFORMATION DE TSGHIRNIIALSEN

en appliquant à la somme des seconds membres la formule du binôme, elle devient

Posons

( i3) ou

cette expression devient

Développons (t — IJ)""' par la formule du binôme, remplaçons ensuite T^parT^; nous aurons une autre forme de la fonction ï(3). Soit donc

il en résulte la transformation identique

(iG) (ï;-o)--*T(|-;^-^) = /-«-îe(o.

La dépendance des coefficients / et t est fixée parles équations symboliques (i3); c'est la même que pour les fonctions Y et H.

Donc : La substitution linéaire qui transforme (y^ + o)"/(v) en 'jÇt) transforme aussi (yî^ -j- o)""^ T(z) en r""'- B(!J).

Désignons par la lettre t' les coefficients de cette fonction transformée, c'est-à-dire les grandeurs /•'*"'ta', alors, l'équation (i:>.). linéaire par rapport à ces variables, donne

(17) lUt\^)--=r'^-^Y(t,x).

Si dans Y(/, x) on remplace x successivement par les n racines de/(x), on en déduit n nouvelles fonctions. Toute fonction liomoo;ène, rationnelle, symétrique de ces n fonctions s'exprime rationnellement à l'aide des coefficients (ief{x). Soit K(t,a) une

telle fonction, v son degré; désignons par o! les coefficients de ç(5); Téquation (17) donne alors

Nous avons ainsi démontré le beau théorème de M, Hermite.

L'équation f{x) = o étant tranfovmée à l'aide de la transformation de Tscliirnhaiisen

les coefficients de V équation transformée et toutes les fonctions symétriques des n valeurs dey sont des invariants simultanés des deux fonctions f{z)^ ^(5).

§ 7G. — Développements sur le théorème de M. Hermite. Du paragraphe précédent, il résulte qu'en posant

et en y remplaçant x par les n racines de f{x)y les fonctions symétriques des n valeurs ^4,^'a, . • ., y,i ainsi obtenues sont des invariants simultanés de deux formes f{z) et T(:?) respectivement de degrés n et n — 2.

SoitP(jKi, y2, ' ' "i yn) une telle fonction symétrique, homogène, rationnelle, entière et d'ordre v; d'après l'équation (i), c'est évidemment une fonction homogène d'ordre v des variables /. C'est de même une fonction homogène d'ordre v par rapport aux coefficients a; car, l'expression (i) développée est linéaire par rapport aux «, et les fonctions symétriques des racines xi ne dépendent que des rapports mutuels des coefficients. 11 semble pourtant que P puisse contenir à son dénominateur une certaine puissance de a^; reste à faire voir que ce fait ne se présente pas.

Posons

ûo^(ri»rï' -",yn) -= k(/, a);

choisissons A de telle sorte que K(^, a) soit une fonction entière des coefficients a, qui ne s'annule pas pour «0 = 05 il faudra donc