CHAPITRE YI. — TRANSFORMATION DE TSCHIRNHAUSEN

que 'k soit nul, si nous démontrons que toutes les quantités y conservent des valeurs finies pour ao = o.

Faisons tendre a^ vers o, sans changer les autres coefficients; une des valeurs de x devient infinie. La valeur correspondante dey reste finie ; cela résulte de l'identité [§ 74, (i i)]

Si, en effet, x devient infini et ao nul, les fonctions F© (.r), . . . , F„2(-2:*)ont pour limites les coefficients de f dans f\^)i c'est-

à-dire

Les valeurs des quantités y restent donc finies, et, par suite, ^{y^^y^-i ••*^yn) ^^^ ^^ invariant rationnel et entier du degré v aussi bien par rapport aux coefficients t que par rapport aux a.

Si donc nous supposons que Téquation en y est de la forme

(3 ) r"-<- P«r''-*-^ Par"-'-^. . .H- Pn = o,

Pv 6St un invariant du degré v.

Le discriminant A de l'équation (35), c'est-à-dire le carré du produit

(4) [ {y^—yz)'"

est un invariant du degré n{n — i).

Pour nous rendre mieux compte de la formation de ces grandeurs, rappelons qu'on obtient y en remplaçant <* par t^ dans l'expression

t — X n On en conclut

(5) y\—y%^{oc^ — xt)

un.

(t^Xi){t-Xt)

à condition de faire dans cette formule la même transformation.

26o LIVRE I. — LES PRLNCIPES.

Le quolienl

est une fonction rationnelle et entière de t du degré /i -- a. Appelons tt\H la valeur qu'il prend quand on y remplace i^ par 1^: on a alors

(6) 7/ - yk ^ i^i -- ^k) ti^k,

Si donc on |)Ose

' ^ft- 1

B est une fonction entière et homogène du degré - - par

rapport aux quantités Z/^^; comme, en outre, c'est une fonction symétrique des racines, on peut l'exprimer rationnellement en fonction des coefficients a.

Soit D le discriminant de /{jc) [§ 50, (3)]; l'équation (6) montre que (8) Ar^De^;

on en conclut que 0 est un impartant qui ne contient plus le dénominateur ciq, A est du degré n(n — 1) par rapport aux coefficients a; D est du degré 2/1 — 2(§ 50); donc 6 est du degré

(/i — i)(n— 2) , ce ' ^

par rapport aux coeincients a.

6 est ce qu'on ap'pelle une /orme réductible du degré —

par rapport aux variables t] d'après Téquation (7) on peut, en effet, la décomposer en facteurs linéaires; seulement, ces facteurs ne sont pas rationnels par rapport aux quantités a.

Déjà, au § 58, nous avons fait remarquer que, dans la transformation de Tschirnhausen, x s'exprime rationnellement en fonction de j'^ cela est aussi vrai pour toute fonction rationnelle de jr.

Spit y(^) une telle fonction pouvant encore contenir les variables a et /, mais toujours entière et homogène par rapport à ces deux sortes de variables; on pourra écrire

(9) T(^) -= Go 4- C,7 4- G,7» + . . .H- C«,7«->,

les quantités Co, C| , . . . , C/,i étant rationnelles en a et /.