CM

e<p(j7) - Qo-+-QIr-+-Q27*-^•••+Q«--l/"~*•

Les coefficients Qv ne sont plus des invariants; leur calcul est difficile dans la majeure partie des cas.

§ 77. — Transformation de l'équation du troisième degré.

Le théorème de M. Hermite (§ 75) suffit pour faire, sans autres calculs, la transformation de Téqualion du troisième degré.

A cet effet, employons des variables homogènes Z\ et z^\ nous aurons à former des invariants simultanés de la forme cubique

/(^i, 5j) = ao^î -hai-sJ-SjH- a^Zxz\-\- a^zl

et de la forme linéaire

T = — fa^i-h /| 5j

202 LIVRE I. — LBS PRINCIPES.

Faisons dansT la substitution linéaire

il vient

en posant

OU bien

Ces formules se déduisent des équations (3) en remplaçant 2«, Z2^ z\^ z.^ par r^i, r^o? ^'u ^'o* ^î donc I(a, /i, <o) est un invariant simultané de /et de T, homogène, du degré v par rapport à f| et ^07 et du poids X, c'est-à-dire si

on aura

I(a', V,,^;) = r>^-vl(a, «1,^0. •

donc I(a, z,, ;52) est un covariant de/.

O/i déduit donc tous les invariants simultanés de f et deT des coçariants de la fonction f, en y remplaçant Z\ et z^ po-^ t\ et tQ.

Aux § 68, 69 nous avons formé le système complet des covariants de /.

Il est alors facile de former l'équation du troisième degré qin se déduit de la substitution [§ 74, (12)]

(5) y = ti («0^-+- y)"^ ^0 faoa?*-t-a,a?H- ^j-

En écrivant cette équation sous la forme

P2 et P3 sont des covariants de /, respectivement du second et du troisième degré, aussi bien par rapport aux t que par rapport aux a. Il résulte de ce qui a été dit (§ 68, 69) que P2 et Pj ne