CHAPITRE VI. — TRANSFORMATION DE TSCHIRNHAUSEIf

peuvent différer que par des facteurs numériques des fonctions H(^i, ^o)î Q(^j 'o) définies à ce moment. Ces facteurs constants se déterminent à l'aide d'une hypothèse particulière. Faisons, par exemple,

/, =1, ^0 = 0, ao = if ai = o; on aura alors ^= x^ donc

Pj = flj, Pj = aj.

D'autre part, les formules (2), (3), (7) du § 68 donnent alors

H(i,o) := 3^2, Q(i,o) = '27a3; on en conclut les formules générales

et Téquation du troisième degré en y devient

(6) ^»-hiH(<,, to)y -h jV Q('i, <o) = o.

Le discriminant A de cette équation est

d'où, par application de l'équation (12), §68,

D est le discriminant de l'équation du troisième degré donnée.

Si l'on veut déduire de là le moyen de résoudre l'équation, il faudra, d'après les indications du paragraphe précédent, exprimer X rationnellement en fonction de y. Nous poserons

Il est facile de calculer les coefficients Q, en écrivant les équations obtenues en remplaçante ci y par les systèmes de valeurs correspondantes ^1, X2, x^ et j^i, j^a, ^3.

Donnons quelques indications sur la marche du calcul qui n'exige que l'emploi des relations entre les racines d'une équation du troisième degré et les coefficients de cette équation (§ 48, 49).

En ajoulant les équations (9) membre à membre, il vienl, craprès (6),

3Qo = |H(^, to)Qi-aJitu to)\

il suffit alors de calculer Qi et Q^. On les trouve en multipliant Téquation (9) membre à membre avec les équations

7t — ^3 = «o(^ï — 3:3) ( /, — toXi ),

et en additionnant membre à membre avec les équations analogues trouvées par permutation circulaire des indices i, a, 3. 11 suffit alors de faire usage des formules

all,x](Xi~-Xi) =ai v/i5, at^x\(x,-x,)^.^^;-^^i\ et Ton trouve ainsi

Qo= -y/('u'o)-^^H(/„^o), Qi - ao(\-i-laitoti-h 1 aj/J,

Posons, pour simplifier, tt = t cl tQ= i^ c'est-à-dire détruisons l'homogénéité; il vient

y étant racine de l'équation

1I(/) et Q(^) étant mis au lieu de H (/, 1) et de Q(^, i).

Pour résoudre maintenant Téquation du troisième degré. îl suffit de déterminer ^à l'aide de l'équation du second degré

Soit, pour l'instant,