CHAPITRE VI. — TRANSFORMATION DE TSCHIRNHALSEN

réqualion (7) donne

cl, parsiiile, d'après (11),

d'où, finalement, d'après (10),

Pour déduire de ce résultat la formule de Cardan, revenons au jl^ 68, et dans les formules établies à cet endroit, faisons

X = t, jy == i.

Par suite de l'équation (i3), on aura [§68, (1 i), (i3)]

et [§68, (10)]

dans la dernière formule Ç' = AAq est [§ 68, (i3)] la dérivée de Ç par rapport à / ; de plus

/(/)::--/rp', /'(0-3A»Aop«.

L'équation (i4) du présent paragraphe donne alors

et, par suite, d'après (lî)),

Zoox -hai — — A Ao v^? H .r- .

ouhien[§68, (i4), (i5)]

(16) 3rtoa"--ai — Ao(/.- — A) /jp,

runnule dans laquelle

Si l'on suppose «q = i , «, r=r o, l'équation (i6) donne la formule de Cardan

§ 78. — Transformation générale.

En cherchant à effectuer d'une façon générale la transformation de Tschirnhausen sous la forme indiquée par M. Hermite, on peut aller plus loin que nous ne l'avons fait jusqu'ici.

Considérons la substitution générale [§ 74-, (5)]

on en déduit la forme plus particulière [§ 74, (12)], si l'on assujettit les variables t à vérifier la condition linéaire

(2) ^(y) = na^tn-x-^ (n — i)ai^,j -^. . .-f- a/^j^o — o;

nous ne le ferons pas pour l'instant.

Les fonctions foy/i-, - . •^fn-x permettent de représenter sous forme linéaire et homogène toutes les puissances de x et, par suite, toutes les fonctions rationnelles de x. Si nous savons trouver les expressions correspondantes pour les puissances de y, il suffira d'éliminer les fonctions fi pour former l'équation du pleine degré en y.

On arrive au même résultat plus simplement, en exprimant les n produits tels que yfs linéairement à l'aide des fonctions fi. Supposons, en effet, que nous écrivions les n équations

(3) yfs = Ea,,/o-4- Ej,,/, -+- Ei^sfi -+-•• •-^En-l,sfn-l*

5 ^= o, 1, st, . . ., /i — I :

il vient, en éliminant /oj/i? • • —> fn-\ entre les équations de ce système (3),

I Eo,o — y Ei^o Ej^o ••• E/t-1,0

(4) E=|^°'* '^M— r Ej,, ... E«-,,|

J Eo,n— 1 Jii^,i| h,,|j|,| — y