CHAPITRE Vf. — TRANSFORMATION DE TSCHIRNHAUSEN

équation du /i'*^*"** degré en y^ qui est précisément l'équation cherchée.

Tout le problème est donc ramené au calcul des coefficients E;.^,; ainsi qu'il résulte de (i), ce sont des fonctions linéaires des variables /; en particulier,, on a

Pour calculer les autres coefficients, nous remarquons [§ 74, (4)] que les fonctions /vérifient les relations suivantes :

la dernière étant la conséquence de l'équation /(^) = o.

Continuons maintenant la suite des variables ^o? ^n • • •; 0<-i en définissant de nouvelles variables ^/,, ^«^.i, t„^2i • . . à Taide des équations

, , aotn4-i -^- aitn -+-...-+- a/|/| = o,

lin multipliant les deux membres des équations (6) respectivement par ^„|, tft 2i • • • ) ^0 G^ ajoutant, il vient

^ ^ ) ^r = ^i/o -^ ^«-l/l -H . . . -f- ti/n-l ;

de même en multipliant par tny t,i.\, . . ., ^i On obtient ainsi le système suivant :

y = t„-i /o -f- tn-i /i H- . . . ^ to/n-l , ^ y = ^n /o -t- '«-1 /i -f- . . . -H t\fn-\ ,

^^ — 'rt+j-l /o -t- ^n-i-s-i/l -i- . . . -+- h/n-l •

268 LIVRE I. — LF.S PRINCIPES.

11 suffit maintenant de multiplier les deux membres de ces équations respectivement par o^^ ^j in . . ., Oo^ et d'ajouter; il

vient alors

y/s = Eo,,/o -4- Ei,,/i -+- . . . -h E„,,,/„, ;

les relations (^) montrent alors que

Eo,jr =" ^o'/i-t-f-l -+-^I f'n-¥s-t 4-..-+- Oftn-i = — ^f-M '/»— î — ••• — Onfs-l" ••• )

Remarquons que les variables supplémentaires t„^ ^«+i, • • •? que nous avons introduites, ne figurent plus dans les secondes expressions des coefficients, et que la variable t„,t ne figure que dans E^,,.

§ 79. — Le Bèzoutiant.

L'équation (4) du paragraphe précédent, développée, aura \i\ forme

si Ton détermine /„| de façon que S (y) = o, elle devient

(l) jrn ^ Pj^n-î ^... ^p^ = o;

on a alors

c'est une fonction du second degré par rapport aux variables / et par rapport aux coefficients a.

Cette fonction a une importance particulière pour beaucoup d'applications. Sjlvester lui a donné le nom de besoutiant, en l'honneur du mathématicien français Bezout, qui déjà, au siècle précédent, a émis les premières idées exactes sur l'élimination (•).

(') Sylvester, Sur une théorie des relations syzygétiques de deux fonctions rationnelles et entières {Phil. Trans., vol. 143; i853).