CHAPITRE VI. — TIIANSFORMATION DE TSCniRNHALSO

Le calcul de celte fonction est relativement simple, à l'aide des formules du dernier paragraphe. Outre les variables /«i, '/i-2> •••? ^07 nous introduisons un autre système de variables "/*-«, '/i-2î • • • 1 "^oj ind(^pendantes des précédentes, et nous posons

( y ~ ^n-\/o ~r- t,i-tf\ -4- ... H- fofn-i ,

Au lieu de former S(^^), nous commencerons par calculer S(yz)^ et nous en déduirons S{y''^), en y faisant T/= ti. Reprenons Téquation (3) du paragraphe précédent :

' 3) yfs= Eo,,/o-r-Ei..</i -^...-t-E«i,,/,i-i ;

multiplions ses deux membres par7„j i; faisons 6' = o, 1,2, ..., n — 1, et ajoutons; il vient

D'autre pari, l'équation (6) du § 74 donne on en déduit

-h (n — ijfli ^ EijjT/i-j-i — . . ,-T-a,i-i ^ E,t j,5T„5 i. 0,/i— 1 o,« — 1

Le coefficient de t„.i dans cette expression est

naoEo,o-+-('* — 0«iEi,o -+-... -i- «,i-i E/i-1,0;

il est donc égal à aoS{y), d'après (3).

Or, S(;:) commence par le terme /moT/,i. Il n'y aura donc dans la différence

aucun terme ne contenant t,,i en facteur. Comme, d'autre pari, cette expression est symétrique par rapport aux variables t et t, elle ne renfermera pas non plus tn-\ ; en la formant, nous pourrons donc faire l'hjpotlièse

Posons maintenant

S(^)= na^tn-i -f-o(0 et

(6) ?(0 = (/i — i)«i/rt-j-i-(n — 2)a,/„a4-. ..-+-art i t^.

11 vient alors

S(r^) — ,7S(7)S(^) = /iao^li:o,fT,t-.,-i-h(n— i)ai^Ei,fT;,-f-i-4-.., (7){

remarquons qu'on a fait Thypo thèse t,i i = o, de sorte que

les autres quantités E sont données par les formules (9) du paragraphe précédent.

Le second membre de (7) est une fonction bilinéaire des variables ^ et t; supposons-le développé, il aura la forme

avec la condition B>i^^ = ^k^h-

Le bezoutiant résulte de là par Thypothèse ^ = t; donc

les coefficients B^^^tsont des formes quadratiques par rapport aux coefficients a, L'équation (-) donne alors

(9) S(7;;)-^S(7)S(^) = 2Ba,*'/*xx.,