CHAPITRE VI. — TRANSFORMATION DB TSCHIRNHAUSEN

La formule (8) du § 74 donne

y— - S(7)^ ^i-îFo-^^«-:|Fi- ...-4- /oF«-2,

-5 — -• S(3; — T«iFo — T„3Fi -r. . . ^':oF„j;

d^où, en multipliant membre à membre,

yz- l [^S(5) -i- ZS(JK)] -^ ~ S(7)S(^) -2 ^/*'AF;i-A-îF;,;t-,.

Faisons la somme des égalités analogues correspondant aux différentes valeurs de x^ il vient

/i. k S(^^) i S(j.)S(3) r-. 2 T/^/x-SCF^Wl-îF^-^t-î).

En comparant cette formule à (9), on en conclut

Ba,* — S(F„A-jF„;t t).

Appelons A le déterminant de la fonction B, c'est-à-dire

A = >^ (:'- Bo, 0^1,1 . . . B„- j,«-î).

D'après le théorème de la multiplication des déterminants, et eu égard aux formules

SFo = o, SFi — o, SFrt-j — o,

on a

en posant

ni = *2,

I Fo(arO F,(:r|) ..

I FoCo-O Fi(:r,) .

1 ¥f^{Xn) F,(j:„)

F«-,(2?0 F„2(ar,)

Tenons compte des formules (9) du § 74, qui donnent les valeurs des fonctions Fq, F<, . . . , F^2 ; appliquons cette propriété qu'on peut ajouter aux éléments d'une colonne ceux de même rang d'une autre colonne, multipliés tous par un facteur arbitraire; on trouve

aisément

* rr.

expression dont le carré est le discriminant de/(,r) (§ 50). Nous obtenons ainsi ce théorème très important :

Le déterminant du bezoutiant de f{x) est la /i"'°** partie

du discriminant de f{x), Le calcul du bezoutiant n'offre maintenant plus aucune difficulté

et se fait d\ine façon relativement simple.

Pour /i rzz 3, on obtient comme résultat

B ---jII(/,,/o),

ce qu'on pouvait déjà conclure des formules du § 77.

Pour faciliter l'intelligence de ce qui précède, nous allons écrire en détail le système des formules dans le cas de la forme du quatrième degré, et nous laisserons au lecteur le soin d'cffecluer les calculs, à peine plus longs pour le cas du cinquième degré.

D'après Téqualion (7) et les formulas (10) du § 78, on a

f{x) — «o^M- aix^-- aix^ -f- a^x -f-a^ ,

l-a, 1 ^ <t.i ti as ^

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K,,l rt,/2,

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