CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

se déduit des coefficients de/* et cp par des opérations rationnelles ; on n'a jamais à employer comme diviseurs que les coefficients des plus hautes puissances de x dans A, A', A", . . ., lesquels sont supposés différents de zéro.

Appliquons ces raisonnements à deux exemples.

Soient d'abord les deux fonctions du second degré

IA = «0^* H" ctiX -+- aj, B = box^ -h 6, a: H- ôf»

dans lesquelles on suppose donc ao^o 7^ o-

La première opération consiste à former l'équation

(6) A=2^B-f-C; si l'on pose

(7) C = CoX-hCi,

il vient

/«x «1^0 — ^i«o afbo— bfao ( » ; co = T , Cl = 7

Si Co est nul, c'est-à-dire si C se réduit à une constante, A et B ne peuvent avoir de diviseur commun, que si c^ est aussi nul; mais alors A est divisible par B; ces deux fonctions ne diffèrent que par un facteur constant.

Si Co est différent de o, on peut continuer l'opération, en posant

B = QC-+-D,

on obtient D en remplaçant a par dans les formules du § 4,

npiciçaDi a par — et l'on trouve ainsi

1^ boc] — biCoCi'h bicl

Si D est différent de o, A et B ne peuvent admettre de plus grand commun diviseur. Si, au contraire, D = o, C est le plus grand commun diviseur de A et B.

Tirons de (8) Jes valeurs de Cq et c^, portons-les dans (9), chassons le dénominateur 69 c^ ; la condition pour que A et B ad-

4o LITRE I. — LES PRINCIPES.

mettent un plus grand commun diviseur est

( — aoaxbiOt-haoaiOiH-alOQOi = Oy

laquelle peut aussi s'écrire

(il) («0*1 — 60 «î)*-»- {aobi— aibo){afbi — b^ai) = o.

Cette condition est aussi vérifiée quand Cq etcj sont nuls simultanément; c'est donc la condition nécessaire et suffisante pour que les fonctions A et B admettent un plus grand commun diviseur.

Le premier membre des conditions (10) ou(i 1) s'appelle le résultant de A et B.

Gomme second exemple, prenons les fonctions déjà considérées

au §3,

!A =/{x) = aoa?' -+- aiX^-\- a^x-^ a^^ B = ©(37) = 3ao^* -+- ^ûfio? -haj,

Gq est supposé différent de zéro ;.il vient alors, d'après (3),

(i3) A = QB-f-C,

(l4) G = CoiT-h Cl,

formules dans lesquelles

6flro«î— aaj 9^o«3 — «i«s

(15) Co= > Cl = •

Si Co est nul, l'opération s'arrête. Si C\ est différent de zéro, A et B n'ont pas de plus grand commun diviseur; si c^ est aussi nul, B est le plus grand commun diviseur de A et B; A est donc divisible par B. Les conditions pour qu'il en soit ainsi sont donc

(i6) Sao^t — af = o. gao^s — aia^^o.

Si Co n'est pas nul, on peut faire faire un pas de plus, en

posant

B = PG-f-D.

D est une constante dont la valeur est

-. a,cj — 2aiCoCi-+-3aocJ (18) D= —