CHAPITRE TI. — TRANSFORMATION DE TSCHIRM1AUSEN
On devra multiplier chacune de ces expressions par la quantité écrite à sa droite, additionner les résultats; cette somme devra être augmentée de
— \ ?(/)o(t) =— { (3ai/, -4-2a,/i -hrt3/o)(3a,Ts -h ^atZi -4- a^-zo); enCn, on devra chercher les coefficients de x/ttk» Il vient ainsi
IBj,, =^:|:(8ao«j — 3aî), Bo,i =-- } (6a,ai — «,«3),
B|.i = — 4 aoûf^ — 2a, 03 -h a*, Bi,, = — { (6ao«3 — «1 Oj)» Bo.o = — iCSaja* — 3«5), Bo,j = — { (i6ao«* — «iûT-O-
En procédant d'une façon analogue pour la forme du cinquième degré, on trouve
5Bo,o =4^! — loa^a^y 5Bo,i = ^a^a,, — 1 ja^aj,
5Bi^i = 6al — 10^2^4 — 20 a tas, 5Bo,t= 202^4 — ioaia^, jBî,s=6aî — loaiOi — loaoa^f 5Bo,3= aia^ — 'ADcro^s, ' 5Bj,3=4oî— lOrto^î- 5Bi^i= 4«8«3— 1 Jaiav — 25rtyrt5,
5 Bi,3= 2aia3 — 2oao«^»
^Bj 3= 3aia2 — i5ao^3«
§ 80. — Transformation de l'équation du cinquième degré.
Nous allons faire usage des développements précédents, pour elTectuer la transformation de l'équation du cinquième degré, esquissée au § 60.
On peut déterminer d'une infinité de manières les variables /o> /i, ti, ^3, de manière à annuler le bezouliant B; en général, il faut, à cet efiel, résoudre une équation du second degré. On peut,
par exemple, supposer ^2= ^3 = o; le rapport ~ est alors racine de l'équation du second degré
Bo.o'î-»- -^Bo.iVo/i -h B,,,7Î = o.
Les valeurs des variables t contiennent alors la racine carrée
v'^o,i — Bo.oBi,,.
Les autres manières de procéder introduisent d'autres racines W. 18
274 LIVRE I. — LKS PRINCIPES.
carrées; il y a un certain arbitraire, une certaine indétermination dans le choix de cette racine.
Parmi ces diflerents modes de détermination des variables, nous en prenons un particulier de façon à transformer Téquation du cinquième degré donnée en une équation canonique ; nous appelons ainsi la forme dans laquelle il n^y a plus de terme du troisième et du quatrième degré, ou plutôt, selon le procédé adopté par M. F. Klein, nous supposons que l'équation à transformer soit donnée sous la forme canonique
(i) /(.r) = aoJ7* -i- «3-^*-H «vJ" H-aj = o.
Remarquons expressément, d'après l'équation (8) du § 76, que par cette transformation de Tschirnhausen le discriminant de l'équation donnée ne diffère du nouveau discriminant que par un facteur 0^; ce facteur 0 dépend rationnellement des variables/ qu'on a employées, et, par suite aussi, de la racine carrée qui a servi à les déterminer.
Dans cette hypothèse, les coefficients du bezoutiant, calculés au paragraphe précédent, prennent les valeurs suivantes :
3Bo,o = 4«4 — toaaaj, 5Bo,i = 3a3a4,
)Bi,i = 6aJ, 5Bo,j = o,
(2) { 5B2,2 =— •Aocfo^v» 5Bo,3 = — aSaoaj,
5B3,, — o, 3B|,j — — ajaoaj,
Calculons le déterminant à l'aide de ces coefficients ; on trouve alors sans difficulté, d'après l'équation (12) du § 79, que le discriminant de l'équation canonique du cinquième degré a pour valeur
Le coefficient B:,^3 étant nul, on obtient donc un systènne de valeurs des variables t annulant le bezoutiant, en prenant
Donnons maintenant à notre substitution de Tschirnhausen la
